Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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124 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable Por la propia definición es claro que si una sucesión converge en R entonces su límite, que es su único punto adherente, coincide con su límite superior. Ahora podemos probar: Teorema 3.26 Sea ∞ an(z−a) n=0 n n una serie de potencias, sea R =1/ lím |an| n (entendiendo que 1/0 =+∞ y 1/(+∞) =0). Entonces la serie converge absoluta y uniformemente en todo compacto contenido en BR(a) y diverge en todo punto de C \ BR(a) (las bolas se toman respecto a la norma euclídea. Convenimos que B+∞(a) =C). En particular la serie converge absoluta y puntualmente en BR(a) a una función continua. Demostración: Sea K un compacto en BR(a). Veamos que la serie converge absoluta y uniformemente en K. La función |x − a| es continua en K, luego alcanza su máximo r en un punto x ∈ K, es decir, |x − a| = r y para todo y ∈ K se cumple |y − a| ≤r. AsíK⊂ Br(a). n Como x ∈ BR(a) hadeserr
3.6. Series de potencias 125 Teorema 3.27 Sea ∞ an(z − a) n una serie de potencias tal que exista n=0 lím n |an+1| |an| Entonces su radio de convergencia es 1/L. = L. Demostración: Por el teorema anterior, el radio de convergencia de la serie dada es el mismo que el de la serie ∞ |an|zn .Six>0, tenemos que lím n n=0 |an+1|x n+1 |an|x n = Lx, luego el criterio de D’Alembert implica que la serie converge cuando Lx < 1y diverge si LX > 1. Consecuentemente el radio de convergencia ha de ser 1/L. Las series de potencias se pueden derivar término a término. Conviene probar un resultado un poco más general: Teorema 3.28 Sea {fn} ∞ n=1 una sucesión de funciones fn :]a, b[ −→ R que converge uniformemente a una función f. Supongamos que todas ellas son derivables en ]a, b[ y que la sucesión de derivadas converge uniformemente a una función g. Entonces f es derivable y g = f ′ . Demostración: Fijemos un punto x ∈ ]a, b[ y consideremos las funciones Fn(y) = fn(x)−fn(y) x−y si y = x f ′ n(x) si y = x Similarmente definimos F :]a, b[ −→ R mediante F (y) = f(x)−f(y) x−y si y = x g(x) si y = x El hecho de que fn sea derivable en x implica que Fn es continua en ]a, b[. Basta probar que para todo ɛ>0 existe un número natural n0 tal que si m, n ≥ n0 e y ∈ ]a, b[ entonces |Fm(y)−Fn(y)| n0 entonces |f ′ n(u) − f ′ m(u)| < ɛ para todo u ∈ ]a, b[ . 2
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Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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