Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

128 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
Es claro que e 0 = 1. Definimos el número
e = e 1 =
∞
n=0
1
=2, 7182818284590452353602874...
n!
Ahora probamos la ecuación que caracteriza a la función exponencial:
Teorema 3.31 Si z1, z2 ∈ C, entonces e z1+z2 = e z1 e z2 .
Demostración: Usamos la fórmula del producto de Cauchy:
∞ ∞ ∞ n
e z1 e z2 =
=
n=0
∞
z n 1
n!
n
n=0 k=0
n=0
1
n!
z n 2
n! =
n
k
1
k!(n − k)!
n=0 k=0
zk 1 z n−k
2
z k 1 z n−k
2 =
∞ (z1 + z2) n
= e
n!
z1+z2 .
De aquí obtenemos muchas consecuencias. Por una parte, si n es un número
natural no nulo entonces en n
1+ ···+1
n
= e = e ···e, es decir, la función exponencial
sobre números naturales (incluido el 0) coincide con la exponenciación usual
con base e. Asímismo, 1 = e0 = ex−x = exe−x , luego e−x =1/ex , con lo que
la función exponencial coincide también con la usual cuando el exponente es
entero.
Como los coeficientes de la serie exponencial son positivos, vemos que si
x ≥ 0 entonces e x > 0, y si x 0. Así pues, e x > 0
para todo número real x.
Como, (e 1/n ) n = e 1/n+···+1/n = e 1 = e, resulta que e 1/n = n√ e.Esfácil ver
ahora que e p/q = q√ e p , luego la función exponencial coincide con la que teníamos
definida para exponentes racionales.
Puesto que la derivada es positiva en todo punto, vemos que la función exponencial
es estrictamente creciente en R. En particular es inyectiva. Separando
los dos primeros términos de la serie vemos que si x ≥ 0 entonces 1 + x ≤ e x ,
luego lím
x→+∞ ex =+∞. A su vez esto implica que
n=0
lím
x→−∞ ex = lím
x→+∞ e−x = lím
x→+∞
1
=0.
ex Por el teorema de los valores intermedios, la función exponencial biyecta R
con el intervalo ]0, +∞[.
Ejemplo Aplicando n veces la regla de L’Hôpital se concluye claramente que
lím
x→+∞
xn =0,
ex