Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.7. La función exponencial 127
la igualdad de los radios de convergencia en el caso general. De aquí se sigue
inmediatamente que una serie de potencias con coeficientes y centro reales es
una función de clase C ∞ en su intervalo real de convergencia, y además coincide
con su serie de Taylor.
3.7 La función exponencial
Vamos a aplicar las ideas de las secciones precedentes a la construcción de
las funciones más importantes del análisis: la exponencial, la logarítmica y las
trigonométricas. En esta sección nos ocuparemos de la función exponencial.
Hasta ahora tenemos definido a r cuando a es un número real positivo y r
es un número racional. No es difícil probar que la función r ↦→ a r admite una
única extensión continua a R que sigue conservando la propiedad a x+y = a x a y .
Además esta función es infinitamente derivable y coincide en todo punto con
su serie de Taylor en 0. En lugar de probar todos estos hechos lo que haremos
será definir la función exponencial a partir de su serie de Taylor, para lo cual
no necesitaremos siquiera el hecho de que ya la tenemos definida sobre Q. No
obstante, ahora vamos a suponer la existencia de la función a x ,así como que es
derivable, y vamos a calcular su serie de Taylor. Así obtendremos la serie que
deberemos tomar como definición.
Sea f(x) =a x . Entonces,
f ′ a
(x) = lím
h→0
x+h − ax = a
h
x a
lím
h→0
h − 1
h = axf ′ (0).
Llamemos k = f ′ (0). Entonces hemos probado que f ′ (x) =kf(x), luego por
inducción concluimos que f es infinitamente derivable y f n) (x) =knf(x). No
puede ser k = 0, o de lo contrario f sería constante. Sea e = a1/k = f(1/k).
Entonces la función g(x) =ex = ax/k = f(x/k) cumple g ′ (x) =f ′ (x/k)(1/k) =
f(x/k) =g(x), es decir, escogiendo adecuadamente la base e obtenemos una
función exponencial que coincide con su derivada. Su serie de Taylor en 0 es
entonces fácil de calcular: todas las derivadas valen e0 = 1, lo cual nos lleva a
la definición siguiente:
Definición 3.30 Llamaremos función exponencial a la definida por la serie de
potencias
e z ∞ z
=
n=0
n
n! .
Puesto que
1/(n + 1)! 1
lím =lím
n 1/n! n n =0,
el radio de convergencia es infinito, luego la exponencial está definida sobre
todo número complejo z. Elúltimo teorema de la sección anterior implica que
la exponencial real es derivable, y su derivada en un punto x es
∞ nxn−1 n! =
∞ xn−1 (n − 1)! =
∞ xn n! = ex .
n=1
n=1
n=0