Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

258 Capítulo 7. Teoría de la medida
7.2 Funciones medibles
Si X es un espacio medida, a menudo tendremos que trabajar con subconjuntos
de X definidos a partir de una aplicación f : X −→ Y y necesitaremos
garantizar que dichos conjuntos son medibles. Esto lo lograremos mediante el
concepto de aplicación medible.
Definición 7.6 Si X es un espacio medida e Y es un espacio topológico, una
aplicación f : X −→ Y es medible si las antiimágenes por f de los abiertos de
Y son conjuntos medibles.
Como las antiimágenes conservan las operaciones conjuntistas es muy fácil
probar que los conjuntos de Y cuyas antiimágenes son medibles forman una
σ-álgebra, que en el caso de una función medible contiene a los abiertos, luego
contendrá a todos los conjuntos de Borel, es decir, una aplicación es medible si
ysólo si las antiimágenes de los conjuntos de Borel son conjuntos medibles. El
siguiente caso particular nos interesará especialmente:
Teorema 7.7 Una aplicación f : X −→ [−∞, +∞] es medible si y sólo si lo
son todos los conjuntos f −1 ]x, +∞] ,paratodox ∈ R.
Demostración: Ya hemos comentado que los conjuntos con antiimagen
medible forman una σ-álgebra A. Hemos de ver que A contiene a los abiertos
de [−∞, +∞]. Por hipótesis contiene a los intervalos ]x, +∞], luego también a
sus complementarios [−∞,x]. Todo intervalo [−∞,x[ es intersección numerable
de los intervalos [−∞,x+1/n], luego también está enA. De aquí se sigue que
A contiene también a los intervalos ]x, y[ =]x, +∞]∩[−∞,y[. Finalmente, todo
abierto de [−∞, +∞] se expresa como unión numerable de intervalos abiertos,
luego está enA.
Es claro que la composición de una función medible con una función continua
es una función medible. Esto nos da, por ejemplo, que si f : X −→ [−∞, +∞]
es medible, también lo es |f| y αf para todo número real α, así como 1/f si f
no se anula.
Para probar resultados análogos cuando intervienen dos funciones (suma de
funciones medibles, etc.) usaremos la observación siguiente:
Si los espacios topológicos Y , Z tienen bases numerables (como
[−∞, +∞] y sus subespacios) y u : X −→ Y , v : X −→ Z son
aplicaciones medibles, entonces la aplicación u × v : X −→ Y × Z
dada por (u × v)(x) = u(x),v(x) es medible.
Basta observar que los productos de abiertos básicos A × B forman una base
numerable de Y × Z, luego todo abierto de Y × Z es unión numerable de estos
conjuntos, por lo que es suficiente que sus antiimágenes sean medibles, pero
(u × v) −1 [A × B] =u −1 [B] ∩ v −1 [C].
Ahora, por ejemplo, si u, v : X −→ R son aplicaciones medibles, también lo
son f + g y fg, pues son la composición de u × v con la suma y el producto, que
son continuas.