Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 429
Introducimos ahora un nuevo concepto que nos permitirá generalizar notablemente
estas fórmulas. Consideremos una serie funcional de la forma
+∞
n=1
a−n
, (12.1)
(z − z0) n
donde a−n, z0 ∈ C. La función h(z) =1/(z − z0) es un homeomorfismo de
C \{z0} en C \{0} (su inversa es h−1 (z) =z0 +1/z). Es claro que la serie
anterior converge (absolutamente) en un punto z = z0 siysólo si la serie de
potencias
∞
a−nz
n=1
n
converge (absolutamente) en h(z) (y la suma es la misma). Puesto que esta serie
converge absolutamente en un disco de la forma Bɛ(0) (= C si ɛ = ∞) y diverge
fuera de la clausura del mismo (teorema 3.26), concluimos que la serie original
converge absolutamente en el abierto A = h −1 [Bɛ(0)] = {z ∈ C ||z − z0| >r}
(donde r =1/ɛ) y diverge fuera de la clausura del mismo (supuesto ɛ>0 y con
el convenio 1/∞ = 0). Más aún, si K es un subconjunto compacto de A, la
serie de potencias converge uniformemente en h[K], de donde se sigue fácilmente
que la serie original converge uniformemente en K. El teorema de Weierstrass
implica que (12.1) define una función holomorfa sobre los números z tales que
|z − z0| >r. Consideremos ahora una serie de potencias
∞
an(z − z0) n .
n=0
Si su radio de convergencia R es mayor que r, entonces podemos considerar
la función holomorfa
f(z) =
+∞
n=−∞
an(z − z0) n =
+∞
n=1
a−n
+
(z − z0) n
∞
an(z − z0) n ,
definida sobre el anillo A(z0,r,R)={z ∈ C | r