Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.3. El álgebra de Grassmann 345
f ♯ (ω) está contenido en su rango. Según los comentarios previos al teorema, las
integrales de la igualdad que queremos probar coinciden respectivamente con
las de las formas Y ♯ (f ♯ (ω)) y X ♯ (ω), definidas sobre el dominio (común) de las
dos cartas. Es claro que ambas formas son la misma.
Veamos otro ejemplo de “invisibilidad” de las retracciones: Si S1 y S2 son
dos variedades diferenciables, la retracción de la proyección πi : S1 × S2 −→ Si
es un homomorfismo π ♯
i :Λ(Si) −→ Λ(S1 × S2).
Supongamos que S1 y S2 son los rangos de las cartas X1 y X2, de coordenadas
x1,...,xn1 e y1,...,yn2. Entonces las funciones coordenadas de X1 × X2 son
las π1 ◦ xi y π2 ◦ yi, que en la práctica podemos llamar también xi e yi, pero
que con rigor son π ♯
1 (xi) yπ ♯
2 (yi).
Notemos que dπi(p1,p2) :Tp1(S1) × Tp2(S2) −→ Tpi(Si) es simplemente la
proyección. Teniendo esto en cuenta es fácil ver que dxi, considerada como
forma en S1 × S2, no es sino la retracción π ♯
1 (dxi), donde ahora dxi es la forma
de S1. Así pues, la retracción de una forma arbitraria de Si expresada en
términos de las coordenadas de Xi es la forma que tiene la misma expresión
pero interpretando las coordenadas y las diferenciales en el producto.
Más en general, es fácil ver que si una k-forma ω (digamos de S1 )nose
anula en un punto p, entonces π ♯
1 (ω) no se anula en los puntos de la forma (p, q)
son monomorfimos de
álgebras y podemos identificar las formas de S1 y S2 con formas de S1 × S2.
y análogamente para i = 2, con lo que las retracciones π ♯
i
Por ejemplo, con estas identificaciones tenemos que dm = dm1 ∧dm2, donde
dm, dm1 y dm2 son los elementos de medida de S1×S2, S1 y S2 respectivamente.
En efecto, una carta X1 × X2 alrededor de un punto (p, q) de coordenadas
(x, y) induce la base de T (p,q)(S1 × S2) formada por los vectores (DiX1(x), 0) y
(0,DiX2(y)). Además
ui = dπ1(p, q)(DiX1(x), 0) = DiX1(x), dπ1(p, q)(0,DiX2(y)) = 0,
vi = dπ2(p, q)(0,DiX2(y)) = DiX2(y), dπ2(p, q)(DiX1(x), 0) = 0,
luego, al calcular π ♯
♯
1 (dm1)(p)∧π2 (dm2)(q) sobre esta base mediante la definición
de producto exterior, se anulan todos los sumandos correspondientes a permu-
taciones que hacen actuar a π ♯
1 (dm1)(p) sobre una vector de X2 y viceversa. Por
consiguiente queda
(σ,τ )∈Σn 1 ×Σn 2
que claramente es igual a
sig(σ, τ)
n1!n2! dm1(u σ(1),...,u σ(n1)) dm2(v τ(1),...,v τ(n2)),
dm1(p)(u1,...,un1)dm2(q)(v1,...,vn2) =∆X1(p)∆X2(q) =∆X1×X2(p, q).
Por otra parte es inmediato que éste es el valor que toma dm(p, q) sobre la
misma base, luego ambas formas coinciden.