Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.4. Algunos conceptos del cálculo vectorial 351
Es claro entonces que un campo F es conservativo si y sólo si las integrales de
F a lo largo de los arcos cerrados son todas nulas.
El teorema anterior prueba que los campos de gradientes, es decir, los campos
de la forma F = ∇f, donde f es una función de clase C2 , son conservativos.
Ahora probamos que éstos son los únicos campos conservativos:
Teorema 9.27 Un campo F : U −→ R n de clase C 1 en un abierto U ⊂ R n es
conservativo si y sólo si existe una función V : U −→ R tal que F = ∇V .SiU
es conexo, la función V está determinada salvo una constante.
Demostración: Ya sabemos que los campos de gradientes son conservativos.
Supongamos que F es un campo conservativo. No perdemos generalidad si
suponemos que U es conexo. Entonces es conexo por poligonales. Fijamos un
punto x0 ∈ U y para cada x ∈ U existe una poligonal φx :[a, b] −→ U tal que
φx(a) =x0 y φx(b) =x. Definimos
V (x) = Fdr.
Como F es conservativo, V (x) no depende de la elección de la poligonal. Veamos
que ∇V = F , lo que en particular probará que V es una función de clase C2 .
Tomemos x ∈ V y sea ei el i-ésimo vector de la base canónica de Rn . Sea φx
una poligonal que una x0 con x y consideremos la poligonal φx ∪[x, x+hei], que
une x0 con x + hei, donde h = 0 es suficientemente pequeño para que x + hei
esté enU. Entonces
V (x + hei) − V (x)
h
= 1
h
=
φx
[x,x+hei]
1
0
Fdr = 1
h
Fi(x + thei) dt
1
0
F (x + thei)hei dt
La función Fi es uniformemente continua en el segmento [x − h0ei,x+ h0ei],
para un h0 fijo. Por lo tanto, dado ɛ>0, existe un δ>0 tal que si |h| ≤δ y
0 ≤ t ≤ 1 entonces |Fi(x + fhei) − Fi(x)|