Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.2. Homotopías 401
Definición 11.5 Dos aplicaciones f,g : S1 −→ S2 diferenciables entre dos
variedades son homotópicas si existe H : R × S1 −→ S2 diferenciable de modo
que para todo p ∈ S1 se cumpla
H(0,p)=f(p), H(1,p)=g(p).
Se dice que la aplicación H es una homotopía entre f y g.
Es decir, dos aplicaciones son homotópicas si una se puede transformar en
la otra mediante una gradación diferenciable.
Ejemplo Sea S1 la bola abierta de centro 0 y radio 2 en R n menos su centro 0.
Se trata de un abierto en R n y por lo tanto es una variedad. Sea f : S1 −→ S1
la aplicación identidad y sea g : S1 −→ S1 la aplicación dada por g(x) =x/x.
Ambas son homotópicas. Basta considerar la homotopía
H(t, x) = tx
+(1−t)x. x
Si fijamos x y hacemos variar t en-
S1
tre 0 y 1 vemos que H(t, x) recorre el
segmento radial que va desde x hasta
S la circunferencia unidad. Así, H trans-
1/2
forma S0 en todo S0 (es la identidad),
al llegar a 1/2 cada punto ha recorrido
S0
la mitad de su camino hasta la circunferencia,
por lo que la imagen de S1/2 es la corona sombreada en la figura, y finalmente la imagen de S1 es la circunferencia.
La homotopía H aproxima paulatinamente la imagen de cada punto
por la aplicación f hasta su imagen por la aplicación g.
El objetivo de esta sección es probar que dos aplicaciones homotópicas entre
variedades inducen la misma aplicación entre los grupos de cohomología.
La prueba es una generalización de un teorema de Poincaré y necesita varios
conceptos previos.
La evaluación Sea S ⊂ R m una variedad y V un campo de vectores tangentes
en S, es decir, V : S −→ R m es una función diferenciable y para cada p ∈ S
se cumple V (p) ∈ Tp(S). Entonces V induce una aplicación lineal de grado −1
i(V ):Λ(S) −→ Λ(S) que a cada k-forma ω le asigna la k − 1-forma dada por
i(V )(ω)(p)(v1,...,vk−1) =ω(p)(V (p),v1,...,vk−1).
Convenimos que i(V )(f) = 0 para toda f ∈ Λ 0 (S).
Es claro que i(V )(ω)(p) ∈ A k−1 (Tp(S)), pero falta ver que i(V )(ω) es diferenciable.
En principio i(V ) es una aplicación lineal de Λ(S) enelálgebra