Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

188 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
considerado como un sistema de referencia inercial, pero en el momento en que
el tren acelera o frena deja de serlo. En efecto, imaginemos una esfera en reposo
sobre el pasillo del tren. Visto desde la tierra, tanto el tren como la esfera están
moviéndose a la misma velocidad. Cuando el tren frena, los frenos actúan sobre
él haciéndolo parar, pero no actúan sobre la esfera, que sigue moviéndose a la
misma velocidad. Desde un sistema de referencia determinado por el tren, la
esfera en reposo pasa a moverse hacia delante sin que nada haya influido sobre
ella. Esto es una violación de la primera ley de Newton.
La Tierra no es un sistema de referencia inercial a causa de sus movimientos
de rotación y traslación. No obstante, la traslación alrededor del Sol sigue una
órbita de radio tan grande que localmente es casi recta, y las consecuencias de
este movimiento son inapreciables. En cuanto a la rotación, sus efectos sí son
detectables mediante experimentos físicos que falsean la ley de Newton, pero
en muchas ocasiones también resulta despreciable (una bola encima de una
mesa nunca empieza a moverse sola como en el tren). Un sistema de referencia
determinado por un objeto que se mueva a velocidad constante respecto a un
sistema de referencia inercial cumple igualmente la ley de Newton y las leyes
restantes de la dinámica, por lo que puede ser considerado inercial. Es el caso
del tren que comentábamos antes. Lo que sucede es que aunque el tren está
sometido a la acción de su motor, ésta se emplea únicamente en contrarrestar
las fuerzas de rozamiento que se oponen a su avance, con lo que las dos acciones
que éste experimenta se cancelan mutuamente, y el resultado es el mismo que
si ninguna fuerza actuara sobre él.
Con más detalle: los cuerpos actúan unos sobre otros alterando su estado
de movimiento. Por ejemplo, si dejamos en el aire un objeto en reposo éste no
permanecerá en tal estado, sino que caerá, y esto no es una violación de la ley
de Newton. Lo que sucede es que el cuerpo no está libre de acciones externas,
sino que sufre la acción de la gravedad terrestre. La segunda ley de Newton
afirma que la acción que un cuerpo ejerce sobre otro se traduce siempre en
una aceleración sobre el mismo. Más detalladamente, a dicha acción se le puede
asociar un vector llamado fuerza, de modo que si sumamos todas las fuerzas que
produce sobre un cuerpo cada uno de los cuerpos externos que le influyen, el
vector fuerza resultante es el producto de una constante, llamada masa inercial
del cuerpo, por la aceleración que experimenta.
Ahora vamos a estudiar qué consecuencias tiene la rotación de la tierra en
el movimiento de los objetos. En general, consideremos los vectores
i = (cos ωt, sen ωt, 0), j =(− sen ωt, cos ωt, 0), k =(0, 0, 1).
En cada instante t, estos vectores forman una base ortonormal positivamente
orientada (notar que k = i ∧ j). Podemos suponer que hemos fijado un sistema
de referencia inercial con origen en el centro de la tierra y que k apunta hacia el
norte. Si ω es la velocidad angular de la Tierra, es decir, π/12 radianes por hora,
entonces los tres vectores se mueven con la Tierra, y están en reposo respecto a
ella.
Consideremos un objeto de masa m que se mueve según la trayectoria x(t).
Esto significa que la fuerza resultante que actúa sobre él en cada instante t es