Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

56 Capítulo 1. Topología
Ejemplo Si M > 0, la serie ∞
D’Alembert,
L =lím
n
n=0
M n
n!
M n+1 n M
:
(n + 1)! n! =lím n
es convergente, pues por el criterio de
M
=0< 1.
n +1
M Incidentalmente, esto prueba también que lím
n
n
n! =0.
Notar que hemos determinado el carácter de la serie, pero no hemos dicho
nada sobre el cálculo efectivo de su límite. La razón es que no hay nada que
decir. Por ejemplo, en el caso más simple, M =1,elnúmero
e =
∞
n=0
es un número “nuevo”, en el sentido de que no es racional, ni la raíz cuadrada
de un número racional, ni en general expresable en términos de otros números
ya conocidos. Más adelante demostraremos que de hecho se trata de un número
trascendente sobre Q. Elúnico sentido en que podemos “calcularlo” es en el de
obtener aproximaciones racionales sumando términos de la serie. El resultado
es
e =2, 7182818284590452353602874...
Para acabar demostraremos un criterio válido para las llamadas series alternadas,
es decir, para series de números reales en las que los términos sucesivos
tienen signos opuestos:
Teorema 1.89 (Criterio de Leibniz) Sea {an} ∞ n=0 una sucesión de números
reales positivos decreciente y convergente a 0. Entonces la serie ∞
(−1)
n=0
nan es
convergente.
Demostración: Consideremos primero las sumas parciales pares. Por
ejemplo:
S6 =(a0− a1)+(a2 − a3)+(a4 − a5)+a6.
Teniendo en cuenta que la sucesión es decreciente, los sumandos así agrupados
son todos mayores o iguales que 0, luego en general S2n ≥ 0.
Por otra parte, S8 = S6 +(−a7 + a8) ≤ S6, luego la sucesión {S2n} ∞ n=0 es
monótona decreciente y acotada inferiormente por 0. Por lo tanto converge a
un número L.
Ahora, S2n+1 = S2n + a2n+1, luego existe lím S2n+1 = L +0.
n
Es fácil comprobar que si las dos subsucesiones {S2n} ∞ n=0 y {S2n+1} ∞ n=0
convergen a un mismo número L, entonces toda la sucesión {Sn} ∞ n=0 converge
a L, es decir, la serie converge.
Por ejemplo, la serie ∞ n+1 1 (−1) n es convergente. De nuevo no tenemos
n=1
más medio para calcular su límite que aproximarlo por una suma parcial. En
1
n!