Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.4. Algunos conceptos del cálculo vectorial 353
respectivamente, de modo que la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo
de masa m es mE y la energía potencial de un cuerpo de masa m es mV . La
relación entre ambos es E = −∇V .
Retomemos los cálculos que hicimos en el capítulo VI sobre un cuerpo que
sigue una trayectoria cónica sometido a la fuerza gravitatoria. Puesto que los
sumandos de (6.1) son ortogonales deducimos que el cuadrado del módulo de la
velocidad es
v 2 = ρ ′2 + ρ 2 ω 2 .
(Notemos que en el capítulo VI llamábamos v al vector velocidad y aquí asu
módulo). La energía total del móvil será
E = Ec + Ep = 1
2 m(ρ′2 + ρ 2 ω 2 ) − GMm
ρ
Por otro lado la ecuación de la trayectoria es
ρ = L2
GMm2 1
1+ɛ cos θ
donde ɛ es la excentricidad de la cónica. Puesto que la energía total es constante,
podemos calcularla en el punto que nos resulte más conveniente. Por ejemplo
cuando θ = 0, que corresponde con el valor mínimo de ρ, luego ρ ′ = 0. Entonces
Ec = 1
2 mρ2ω 2 = L2
2mρ2 = G2M 2m3 2L2 (1 + ɛ) 2 , Ep = − G2M 2m3 L2 (1 + ɛ),
luego
E = G2M 2m3 2L2 2
(1 + ɛ) − 2(1 + ɛ) ,
y, en definitiva, la energía del móvil es
E = G2 M 2 m 3
2L 2
(ɛ 2 − 1).
Notamos que la trayectoria es elíptica, parabólica o hiperbólica según si
E0.
Ejemplo Veamos otra interpretación de la circulación de un campo, ahora en
el contexto de la hidrodinámica. Supongamos que V es el campo de velocidades
de un fluido. Esto significa que si liberamos una partícula de masa despreciable
en un punto p el fluido la arrastrará con velocidad V (p) (no excluimos que V
pueda depender del tiempo además de hacerlo de la posición). Supongamos
ahora que en el fluido situamos una bolita sujeta por una varilla rígida a un eje,
respecto al cual puede girar a lo largo de una circunferencia de radio r. 1 Es claro
1 En esta clase de situaciones suponemos siempre que los objetos que introducimos son
instrumentos de medida ideales, es decir, que son afectados por el fluido pero ellos no afectan
al mismo.
.