Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

330 Capítulo 9. Formas diferenciales
Demostración: Por el teorema 5.29 sabemos que K(p) es el determinante
de dn(p), luego ésta diferencial es un isomorfismo. Sea g una carta alrededor de
p y sea h = g ◦n. Esfácil ver que h puede restringirse hasta una carta alrededor
de n(p) en la esfera unidad. Del teorema 9.4 se sigue que
m(E)
lím =1, lím
E→p m(Et) E→p
m(n[E])
m(n[E]t) =1,
y por otra parte n[E]t = dn(p)[Et], luego m(n[E]t) =|K(p)|m(Et), de donde se
sigue claramente el teorema
9.2 El álgebra exterior
Si comparamos el teorema de cambio de variable tal y como lo enunciamos
en el capítulo anterior con la fórmula de una variable
b
u(x) dx =
t(b)
u(x(t)) x ′ (t) dt
a
t(a)
observamos una diferencia: la derivada x ′ (t) es el determinante jacobiano de
la transformación x = x(t), pero aparece sin valor absoluto, con lo que un
integrando positivo puede transformarse en un integrando negativo. Esto sucede
cuando la función x(t) es decreciente, pero entonces el intervalo [a, b] se
transforma en el intervalo [t(b),t(a)] y, como los límites de integración aparecen
invertidos, la integral se interpreta como cambiada de signo, lo cual compensa
la ausencia del valor absoluto.
En el caso general también es posible eliminar el valor absoluto en el determinante
jacobiano que aparece en la fórmula de cambio de variable, a condición de
considerar orientados los dominios de integración (exactamente igual que un intervalo
[a, b] está orientado positivamente cuando a