Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.3. El teorema de Stokes 373
En otras palabras: el flujo del rotacional a través de la superficie es igual a su
circulación en la frontera. Es consecuencia inmediata de la relación d(F dr) =
dΦ(rot F ), que demostramos en la sección anterior. La compacidad de la superficie
implica la del soporte de la forma.
Consideremos ahora la relación d(dΦ(F )) = div Fdm, que demostramos en
la sección anterior. Al aplicarle el teorema de Stokes generalizado obtenemos
otro importante teorema clásico debido a Gauss:
Teorema 10.15 (Teorema de la divergencia) Sea V ⊂ Rm una variedad
compacta de dimensión m contenida en un abierto U. Sea F : U −→ Rm un
campo vectorial. Entonces
div Fdm= F n dσ,
V
donde n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuera de V .
En otros términos, el flujo de un campo a través de una superficie cerrada
es igual a la integral de la divergencia sobre el recinto que limita.
Ejemplo El campo F (x) = x cumple div F = n, luego el teorema de la
divergencia nos da una fórmula para el volumen n-dimensional V encerrado por
una superficie S:
V = 1
dΦ(x).
n S
Destacamos los casos particulares n =2yn =3. Elárea de una figura
plana limitada por una curva C es
A = 1
xdy− y dx.
2 C
El volumen de una región del espacio limitado por una superficie S es
V = 1
xdy∧ dz + ydz∧ dx + zdx∧dy. 3 S
Por ejemplo, la elipse de semiejes a y b admite la parametrización x = a cos t,
y = b sen t. Por consiguiente su área es
A = 1
2
∂V
2π
(ab cos
0
2 t + ab sen 2 t) dt = πab.
Ejercicio: Calcular el área de la cardioide mediante la fórmula anterior.