Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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268 Capítulo 7. Teoría de la medida Demostración: Claramente |f| ≤g, luego f es integrable. Puesto que |fn − f| ≤2g, podemos aplicar el lema de Fatou a las funciones no negativas 2g −|fn − f|, con lo que obtenemos que 2gdµ≤ lím (2g −|fn − f|) dµ = 2gdµ+lím (−|fn − f|) dµ. X n X X n X Es fácil ver que el signo negativo sale del límite, pero cambiando éste por un límite superior, así − lím n X |fn − f| dµ ≥ 0, o sea, lím n X |fn − f| dµ ≤ 0. Pero es obvio que 0 ≤ lím X n |fn − f| dµ ≤ lím n X |fn − f| dµ = 0, luego los límites superior e inferior coinciden, luego lím n X |fn − f| dµ = 0. Ahora aplicamos que fn dµ − fdµ X X = (fn − f) dµ X ≤ |fn − f| dµ, X de donde se sigue el teorema. Cuando una propiedad se verifica para todos los puntos de un espacio medida salvo los de un conjunto nulo se dice que la propiedad se verifica para casi todo punto, y lo abreviaremos p.c.t.p. Veamos un ejemplo: Teorema 7.22 Si X es un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] es una función medible tal que fdµ=0, entonces f =0p.c.t.p. de X. X Demostración: Para cada natural n>0 sea En = {x ∈ E | f(x) > 1/n}. Entonces 1 n µ(En) ≤ fdµ≤ fdµ=0, En X luego µ(En) = 0. La unión de los En es el conjunto E = {x ∈ X | f(x) > 0}, luego f = 0 salvo en los puntos del conjunto nulo E. Cuando digamos que una función f : X −→ [−∞, +∞] está definida p.c.t.p. esto significará que en realidad es f : X \ E −→ [−∞, +∞], donde E es un conjunto nulo. Diremos que f es medible si lo es al extenderla a X tomando el valor 0 en E. En tal caso podemos hablar de fdµdefinida como la integral X de dicha extensión. Terminamos la sección con un importante teorema sobre integrales paramétricas: Teorema 7.23 Sea U abierto en Rn , K un espacio métrico compacto, µ una medida de Borel finita en K, seanf : U × K −→ R una función continua y g : K −→ R una función medible acotada. Definamos F : U −→ Rn como la función dada por F (x) = f(x, y)g(y) dµ(y), K
7.3. La integral de Lebesgue 269 donde dµ(y) indica que la integral se realiza respecto a la variable y ∈ K, considerando constante a x. Entonces F es continua en U y si existe ∂f : U × K −→ R ∂xi y es continua en U × K, entonces existe ∂F ∂f = (x, y)g(y) dµ(y) ∂xi K ∂xi y es continua en U. Demostración: Tomemos x0 ∈ U y sea B una bola cerrada de centro x0 contenida en U. Sea M una cota de g en K. Como f es uniformemente continua en B × K, dado ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si x − x0 < δ, entonces |f(x, y) − f(x0,y)|
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