Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

146 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
la única que cumple G(a) =0:
G(t) =
x
a
f(x) dx = F (x) − F (a).
Cuando queremos referirnos a una primitiva arbitraria de una función usamos
esta misma notación integral, pero omitimos los límites de integración, así,
f(x) dx = F (x)+c, donde c ∈ R.
Veremos que esta notación es consistente con los otros usos que venimos
haciendo de los símbolos dx. De la propia definición de primitiva se sigue que
y ′ (x) dx = y(x)+c.
Con la notación dy = y ′ dx esto se escribe así:
dy = y + c.
Cada regla de derivación da lugar a una regla de integración. Por ejemplo,
el hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas implica
que una suma tiene por primitiva a la suma de las primitivas. Más en general,
dadas dos funciones u, v,
(αu+ βv) dx = α
udx+ β
v dx, para α, β ∈ R.
Uniendo esto a la regla evidente:
x n = xn+1
+ c, n = −1,
n +1
podemos integrar cualquier polinomio. El caso exceptuado es claro:
x −1 dx = log x + c.
La regla de derivación del producto requiere más atención: dadas dos funciones
derivables u y v tenemos que d(uv) =udv + vdu, luego integrando tenemos
udv = uv − v du.
Esta fórmula se conoce como “regla de integración por partes”. Obviamente
de aquí se sigue a su vez la versión con límites:
b
a
udv =[uv] b a −
b
a
v du.