Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.4. El teorema de Riesz 273
Probamos primero que si V1 y V2 son abiertos µ(V1 ∪ V2) ≤ µ(V1)+µ(V2).
Tomemos g ≺ V1 ∪ V2 arbitraria. Por el teorema 7.27 existen funciones h1
y h2 tales que hi ≺ Vi y h1 + h2 vale 1 sobre los puntos del soporte de g.
Por lo tanto hig ≺ Vi, g = h1g + h2g.
T (g) =T (h1g)+T (h2g) ≤ µ(V1)+µ(V2).
Como esto se cumple para toda g ≺ V1 + V2, concluimos la desigualdad
buscada.
Podemos suponer que µ(Ei) < +∞ para todo i, o la desigualdad que
queremos probar se cumpliría trivialmente. Dado ɛ > 0 la definición
de µ implica que existen abiertos Vi que contienen a Ei de modo que
µ(Vi)