Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.4. Geodésicas 217
Un hecho muy importante es que los símbolos de Christoffel, y por consiguiente
la derivada covariante, dependen únicamente de los coeficientes gij de la
primera forma fundamental de S. En efecto, multiplicando las ecuaciones (5.7)
por DlX obtenemos
n
DijXDlX = gklΓ k ij.
Una simple comprobación nos da que
k=1
DijXDlX = 1
2 (Digjl + Djgil − Dlgij),
luego en total resulta
n
k=1
gklΓ k ij = 1
2 (Digjl + Djgil − Dlgij). (5.9)
Fijando i, j y variando l obtenemos un sistema de n ecuaciones lineales con
n incógnitas y coeficientes (gkl), que nos permite despejar los símbolos Γ k ij en
términos de los coeficientes gij y sus derivadas, como queríamos probar. Ahora
nos ocupamos con detalle del caso particular que describíamos al principio de
la sección:
Definición 5.21 Sea α(t) una curva contenida en una variedad S. Llamaremos
aceleración geodésica 5 de α a la derivada covariante del campo vectorial α ′ .
Supongamos que α está parametrizada por el arco. Entonces α ′ (s) =1,
luego derivando resulta α ′′ (s)α ′ (s) = 0, y esta ortogonalidad se conserva al
proyectar sobre Tp(S), de modo que Dα ′ (s) es perpendicular al vector tangente
de α. Llamaremos curvatura geodésica de α a κg = Dα ′ .Siκg= 0 definimos el
vector normal geodésico de α como el vector κ−1 g Dα ′ ,demodoqueDα ′ = κgng.
En el caso de que α no esté parametrizada por el arco el vector normal
geodésico y la curvatura geodésica se definen a través de su parametrización
natural. Explícitamente, si α(t) es una curva contenida en S y s(t) es su longitud
de arco, usando la notación v = s ′ (t) =α ′ (t), a = v ′ (t) para la velocidad y
aceleración sobre la trayectoria y T = α ′ (s) para el vector tangente, tenemos
α ′ (t) =vα ′ (s), α ′′ (t) =aT + v 2 α ′′ (s).
Al proyectar sobre el espacio tangente resulta
Dα ′ (t) =aT + v 2 κgng.
De este modo, la aceleración geodésica de α se descompone en una aceleración
tangencial, cuyo módulo a es la tasa de variación de la velocidad v, y una
5 La geodesia (gr. = división de la tierra) estudia la forma de la Tierra, deducida a partir de
mediciones realizadas desde su superficie. La geometría diferencial ha adoptado este adjetivo
para referirse en general a los conceptos que puede medir un “habitante” de una variedad
arbitraria sin salir de ella.