Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.2. Espacios conexos 77
Un espacio vectorial orientado es un espacio vectorial real de dimensión
finita en el que hemos seleccionado una orientación, a la que llamaremos positiva,
mientras que a la orientación opuesta la llamaremos negativa. Consideraremos a
R
e3 e2 e1 n como espacio orientado tomando como orientación positiva a la que contiene
a la base canónica.
Conviene notar que en otros espacios vectoriales, por ejemplo en los subespacios
de Rn , no hay ninguna base privilegiada que nos permita definir una orientación,
luego la elección de una u otra como positiva es arbitraria. Lo mismo
sucede con el espacio vectorial asociado a un espacio afín real, o con el espacio intuitivo,
donde no tenemos bases canónicas. Para determinar una orientación en
las representaciones gráficas hemos de recurrir a criterios no geométricos. Por
ejemplo, si representamos la recta horizontalmente, se suele considerar como
base positiva a la formada por el único vector unitario que apunta hacia la derecha.
La distinción izquierda-derecha no tiene más fundamento que la anatomía
humana.
Para adoptar criterios similares de orientación
en el plano y el espacio debemos notar primero que,
según los resultados de la sección anterior, dos bases
ortonormales tienen la misma orientación si y sólo si
podemos transformar una en otra mediante un movimiento
continuo en el tiempo. Así, diremos que una
base del plano es positiva si cuando el dedo índice
derecho apunta en la dirección (y sentido) del primer
vector (con la palma hacia abajo) entonces el pulgar
(puesto en ángulo recto) apunta en la dirección del
segundo vector. Si dos bases cumplen esto, el movimiento que transporta nuestra
mano de una a la otra justifica que tienen la misma orientación, y viceversa.
Similarmente, consideraremos positivas a las bases ortonormales del espacio tales
que podemos disponer la mano derecha con el dedo medio apuntando en la
dirección del primer vector, el pulgar en la del segundo y el índice en la del
tercero. Una forma equivalente y más cómoda de esta regla es la siguiente: Una
base es positiva si cuando el índice derecho arqueado marca el sentido de giro
que lleva del primer vector al segundo por el ángulo más corto, entonces el pulgar
apunta en la dirección del tercer vector. Una ligera modificación de estas
reglas las hace válidas para bases cualesquiera, no necesariamente ortonormales.
Si un vector v en un plano orientado tiene coordenadas (a, b) respecto a
una base ortonormal positiva, entonces es claro que el vector w de coordenadas
(−b, a) es ortogonal al primero, con el mismo módulo y la base (v, w) es positiva.
Vamos a obtener un resultado análogo en tres dimensiones.
Sean v y w dos vectores en un espacio tridimensional orientado V . Sean
(a1,a2,a3), (b1,b2,b3) sus coordenadas en una base (e1,e2,e3) ortonormal y
positiva. Definimos su producto vectorial v∧w como el vector cuyas coordenadas
en dicha base son
a1 a3
,
,
.
b2 b3
a3 a1
b3 b1
a1 a2
b1 b1