Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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308 Capítulo 8. Teoría de la medida II Para terminar probaremos una versión del teorema de Riesz para medidas signadas. Sea K un espacio topológico compacto y C(K) el espacio de todas las funciones reales continuas sobre K. Sabemos que C(K) es un espacio de Banach con la norma supremo. Sea C(K) ′ el espacio de las aplicaciones lineales continuas de C(K) enR, que también es un espacio de Banach con la norma dada por T = sup |T (f)| f∞ ≤ 1 . Además, para toda f ∈ C(K) se cumple |T (f)| ≤T f∞. Llamemos M(K) al conjunto de todas las medidas signadas de Borel en K, que claramente es un espacio normado con la norma µ = |µ|(K). Teorema 8.32 (Teorema de representación de Riesz) Si K es un espacio compacto, a cada funcional lineal continuo T ∈ C(K) ′ le corresponde una única medida signada µ ∈ M(K) tal que para toda función f ∈ C(K) se cumple T (f) = f dµ. Además esta correspondencia es una isometría C(K) ′ −→ M(K). Demostración: Si T fuera positivo, es decir, si T (f) ≥ 0 cuando f ≥ 0, la versión del teorema de Riesz que probamos en el capítulo anterior nos daría la medida que buscamos. En el caso general vamos a descomponer T en diferencia de dos funcionales positivos. Sea C − (K) ={f ∈ C(K) | f ≥ 0} y definamos T + (f) = sup{T (u) | u ∈ C + (K), u≤ f}, para f ∈ C + (K). Notar que si 0 ≤ u ≤ f se cumple |T (u)| ≤T u∞ ≤T f∞, luego T + es finito y |T + (f)| ≤T f∞. Es claro que si α ≥ 0 se cumple T + (αf) =αT + (f). Además T + (f + g) = T + (f)+T + (g). En efecto, si 0 ≤ u ≤ f y0≤ v ≤ g entonces 0 ≤ u + v ≤ f + g, luego T (u)+T (v) ≤ T + (f +g). Tomando supremos T + (f)+T + (g) ≤ T + (f +g). Recíprocamente, si w ≤ f + g es claro que u = f ∧ w y v = w − u son funciones continuas y 0 ≤ u ≤ f, 0≤ v ≤ g, w = u + v, luego T (w) ≤ T + (f)+T + (g) y, tomando supremos, T + (f + g) ≤ T + (f)+T + (g). Dada f ∈ C(K) definimos T + (f) =T + (f + ) − T + (f − ). Es fácil probar que T + : C(K) −→ R es un funcional lineal continuo positivo. Lo mismo vale para T − = T + − T . Por el teorema de Riesz para funcionales positivos existen medidas positivas µ+ y µ− tales que T + (f) = fdµ+, T − (f) = dµ−. K Ambas medidas son finitas (basta aplicar las fórmulas a f = 1). Por lo tanto podemos definir µ = µ+ − µ−, que es una medida signada en K y claramente representa a T . K K
8.4. Derivación de medidas 309 Veamos que µ = T . Sif∞ ≤ 1 tenemos |T (f)| = fdµ ≤ |f| d|µ| ≤|µ|(K) =µ, K K luego T ≤µ. Dado ɛ>0 consideramos una partición de Hann (A, B) para µ. Sean K1 y K2 conjuntos compactos tales que K1 ⊂ A, K2 ⊂ B, µ + (A)−µ + (K1)+µ − (B)−µ − (K2)
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Índice General Introducción ix Ca
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x Introducción donde hemos desprec
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xii Introducción desde el primer m
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1.2. Bases y subbases 9 las bolas a
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1.4. Algunos conceptos topológicos
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1.5. Continuidad 21 Pedir que los p
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Capítulo III Cálculo diferencial
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Capítulo V Introducción a las var
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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