Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

210 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
parte xi. Por ejemplo, si en la esfera de centro 0 y radio 1 consideramos un
punto cuyas tres coordenadas (x, y, z) sean no nulas, en un entorno podemos
considerar la carta de coordenadas (x, y), respecto a la cual
∂z
x
= −
∂x 1 − x2 − y2 .
Sin embargo, también podemos considerar la carta de coordenadas (x, z) y entonces
resulta que
∂z
∂x =0.
5.3 La métrica de una variedad
Todas las propiedades métricas de R n se derivan de su producto escalar, que
es una forma bilineal R n × R n −→ R. En una variedad S ⊂ R m no tenemos
definido un producto escalar, pero sí tenemos uno en cada uno de sus espacios
tangentes: la restricción del producto escalar en R m .
Conviene introducir ciertos hechos básicos sobre formas bilineales. Puesto
que son puramente algebraicas las enunciaremos para un espacio vectorial arbitrario
E, pero en la práctica E será siempre el espacio tangente Tp(S) deuna
variedad S en un punto p. Fijada una base (v1,...,vn) deE, representaremos
su base dual por (dx1,...,dxn). Esta notación —puramente formal en un
principio— se ajusta al único ejemplo que nos interesa, pues si E = Tp(S) y
(v1,...,vn) es la base asociada a una carta X, entonces la base dual que en
general hemos llamado (dx1,...,dxn) es concretamente la formada por las diferenciales
dx1(p),...,dxn(p), donde x1,...,xn son las funciones en S que a cada
punto le asignan sus coordenadas respecto a X.
Definición 5.15 Sea E un espacio vectorial de dimensión n. Llamaremos B(E)
al conjunto de todas las formas bilineales F : E × E −→ R, que es claramente
un espacio vectorial con la suma y el producto definidos puntualmente. 3
Si f,g : E −→ R son aplicaciones lineales, definimos su producto tensorial
como la forma bilineal f ⊗ g ∈ B(E) dada por (f ⊗ g)(u, v) =f(u)g(v).
Las propiedades siguientes son inmediatas:
a) f ⊗ (g + h) =f ⊗ g + f ⊗ h, (f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h.
b) (αf) ⊗ g = f ⊗ (αg) =α(f ⊗ g), para α ∈ R.
Teorema 5.16 Todo elemento de B(E) se expresa de forma única como
F =
n
αij dxi ⊗ dxj, con αij ∈ R.
i,j=1
Concretamente αij = F (vi,vj).
3Los elementos de B(E) se llaman tensores dos veces covariantes, pero aquí no vamos a
entrar en el cálculo tensorial.