Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

116 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
Desarrollando las definiciones tenemos que
∆a(f) =f(a +∆x) − f(a) =f ′ (a)∆x + ɛ(∆x)∆x.
La figura muestra la situación:
f ′ (a)∆x
f
∆x
a a+∆x
ɛa(∆x)∆x
∆a(f)
El hecho de que ɛa(∆x) tienda a 0 expresa simplemente el hecho de que,
para valores pequeños de ∆x, se cumple f(a +∆x) − f(a) ≈ f ′ (a)∆x, donde el
signo ≈ significa “aproximadamente igual”, es decir, que el valor de la función
f(a +∆x) es similar al de la recta tangente f(a)+f ′ (a)∆x. En la figura ambos
valores son muy diferentes porque hemos tomado un ∆x grande para mayor
claridad.
Llamaremos diferencial de f en el punto a a la aplicación df (a) :R −→ R
dada por df (a)(∆x) =f ′ (a)∆x. Asídf (a) es una aplicación lineal en R de
modo que f(a +∆x) − f(a) ≈ df (a)(∆x), o sea, la función df (a) aproxima las
diferencias entre las imágenes de f en puntos cercanos al punto a y la imagen
de a. De aquí su nombre.
Si consideramos la función polinómica x, su derivada es 1, luego la diferencial
de x es simplemente dx(a)(∆x) =∆x. Por ello podemos escribir df (a)(∆x) =
f ′ (a) dx(a)(∆x), luego tenemos la igualdad funcional
df (a) =f ′ (a) dx(a).
Si la función f es derivable en todo punto de A, la igualdad anterior se cumple
en todo punto, luego si consideramos a df y dx como aplicaciones de A en el
espacio de aplicaciones lineales de R en R, tenemos la igualdad funcional
df = f ′ dx,
donde dx es la función constante que a cada a ∈ A le asigna la función identidad
en R.
Del mismo modo que la estructura topológica permite hablar de los puntos
de alrededor de un punto dado, pese a que ningún punto en particular está
alrededor de otro, así mismo la diferencial de una función recoge el concepto
de “incremento infinitesimal” de una función, pese a que ningún incremento
en particular es infinitamente pequeño. Por ejemplo, la igualdad dx 2 =2xdx