Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.1. Espacios topológicos 5
Definición 1.6 Una distancia o métrica en un conjunto M es una aplicación
d : M × M −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes
a) d(x, y) =0siysólo si x = y,
b) d(x, y) =d(y, x),
c) d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z),
para todos los x, y, z ∈ M.
Un espacio métrico es un par (M,d) donde M es un conjunto y d una distancia
en M. Como en el caso de espacios normados escribiremos M en lugar
de (M,d).
Todo espacio normado E es un espacio métrico con la distancia definida
por d(x, y) =x − y. Las propiedades de la definición de norma implican
inmediatamente las de la definición de distancia. En particular en Kn tenemos
definidas tres distancias:
n
d1(x, y) = |xi − yi|, d2(x, y) = n
(xi − yi) 2 ,
i=1
i=1
d∞(x, y) =máx |xi − yi| 1 ≤ i ≤ n .
Más en general, estas fórmulas permiten definir distancias en cualquier producto
finito de espacios métricos. La prueba del teorema siguiente es muy
sencilla a partir de los teoremas 1.4 y 1.5.
Teorema 1.7 Sean M1, ... , Mn espacios métricos. Sea M = M1 ×···×Mn.
Entonces las aplicaciones d1, d2, d∞ : M × M −→ [0, +∞[ definidas como sigue
son distancias en M:
d1(x, y) =
d2(x, y) =
n
d(xi,yi),
i=1
n
d(xi,yi) 2 ,
i=1
d∞(x, y) = máx{d(xi,yi) | 1 ≤ i ≤ n}.
Además se cumplen las relaciones d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ nd∞(x, y).
Definición 1.8 Sea M un espacio métrico, x ∈ M y ɛ>0 (en estos casos
sobreentenderemos ɛ ∈ R). Definimos
Bɛ(x) = {y ∈ M | d(x, y)