Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 181
Vamos a ver en general cuál es la expresión de la longitud de una curva
parametrizada en coordenadas polares ρ(t),θ(t) . Notemos que (4.2), para el
caso de dos variables puede escribirse también como
ds 2 = dx 2 + dy 2 .
Se dice que ésta es la expresión del elemento de longitud (es decir, de una
longitud infinitesimal) en coordenadas cartesianas. Se trata de la versión infinitesimal
del teorema de pitágoras. Si diferenciamos las relaciones x = ρ cos θ,
y = ρ sen θ obtenemos
dx = cos θdρ− ρ sen θdθ, dy= sen θdρ+ ρ cos θdθ.
Sustituyendo queda
ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 . (4.3)
Ésta es la expresión del elemento de longitud de un arco en coordenadas
polares. Aplicado a la cardioide resulta
de donde
ds 2 = a2
4
+ a2
4 cos θdθ2 ,
ds = a cos θ
2 dθ.
Así pues, la longitud de la cardioide es
L =
π
−π
a cos θ
dθ =2a sen
2 θ
π =4a.
2 −π