Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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66 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud Ejemplo Una circunferencia es homeomorfa a un cuadrado. En efecto, si C es un cuadrado de centro (0, 0) en R 2 , es claro que la aplicación de C en la circunferencia unidad dada por x ↦→ x/x es biyectiva y continua y, como C es compacto, es un homeomorfismo. *Ejemplo Los espacios proyectivos son compactos. En efecto, basta probar que P n (K) es compacto, pero la restricción de la proyección a la esfera unidad de K n+1 es continua y suprayectiva y la esfera es compacta. Otro hecho obvio es que toda aplicación continua de un compacto a un espacio métrico está acotada. Para las funciones reales podemos decir más: Teorema 2.13 Si f : K −→ R es continua y K es un compacto no vacío, existen u, v ∈ K tales que para todo x ∈ K, se cumple f(u) ≤ f(x) ≤ f(v). Es decir, que f alcanza un valor mínimo y un valor máximo. Demostración: Sea C = f[K]. Entonces C es cerrado y acotado. Sean m y M su ínfimo y su supremo, respectivamente. Así para todo x ∈ K se cumple que m ≤ f(x) ≤ M. Sólo falta probar que m y M son imágenes de puntos de K, o sea, que m, M ∈ C. Veámoslo para M. Si ɛ>0, entonces M − ɛ no es una cota superior de C, luego existe un punto y ∈ C de modo que M − ɛ
2.2. Espacios conexos 67 su máximo y su mínimo en S yasí, como no se anula, existen 0
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Índice General Introducción ix Ca
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Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
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ÍNDICE DE MATERIAS 477 cubrimiento
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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