Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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42 Capítulo 1. Topología +∞ + a =+∞, −∞ + a = −∞, ∞ + a = ∞, (+∞)(+∞) =+∞, (−∞)(−∞) =+∞, ∞∞= ∞. si a>0, (+∞)a =+∞, (−∞)a = −∞; si a0 existen entornos U y V de a tales que si x ∈ U ∩A ′ entonces f(x) >M/2ysix ∈ V ∩A ′ entonces g(x) >M/2, con lo que si x ∈ U ∩ V ∩ A entonces f(x)+g(x) >M, luego se cumple la definición de límite. Similarmente se prueban todas las demás. Cálculo de límites Estudiamos ahora los límites más simples y frecuentes. Comencemos con los límites en infinito de los polinomios. Obviamente lím x = ±∞. x→±∞ Aplicando n veces la regla (+∞)(+∞) =+∞ vemos que si n>0 entonces lím x→+∞ xn =+∞. El límite en −∞ será obviamente (−1) n ∞.Sin0, = ⎩ 1 0 si n =0, si n
1.7. Convergencia de sucesiones 43 los tres límites siguientes son de este tipo y cada uno da un resultado distinto. Por ello se dice que +∞−∞es una indeterminación. lím x→+∞ x5 − x 2 =+∞, lím x→+∞ x2 − x 5 = −∞, lím (x +2)− (x +1)=1. x→+∞ Nos ocupamos ahora de los límites de fracciones algebraicas (cocientes de polinomios). El ejemplo siguiente ilustra el caso general: 6x lím x→+∞ 4 − 3x3 + x +1 2x4 + x2 = lím − 2x +2 x→+∞ 6 − 3 1 x + x3 + 1 x4 2+ 1 x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 6 2 =3. Es claro que el límite en ±∞ del cociente de dos polinomios del mismo grado es el cociente de los términos directores. Si los grados son distintos, al dividir entre la potencia de mayor grado obtenemos 0 si el grado del denominador es mayor y ±∞ si es mayor el del numerador, donde el signo se calcula de forma obvia. Esto vale igualmente (salvo lo dicho de los signos) para límites en C ∞ . Vemos, pues que el caso ∞/∞ es también una indeterminación. Por ejemplo, antes hemos probado que la función t(x) = x|x| x 2 +1 es un homeomorfismo entre R y el intervalo ]−1, 1[. Ahora es claro que lím = ±1, x→±∞ luego si definimos t(±∞) =±1 tenemos una biyección continua t : R −→ [−1, 1]. En el capítulo siguiente veremos que es un homeomorfismo. Ejercicio: Calcular t −1 y probar que es continua. 1.7 Convergencia de sucesiones Si los límites de funciones tienen especial interés en el cálculo diferencial, en topología son más importantes los límites de sucesiones, que en realidad son un caso particular de los primeros. Definición 1.77 Una sucesión en un conjunto X es una aplicación a : N −→ X. Se suele representar {an} ∞ n=0 o, más gráficamente: a0, a1, a2, a3, ... an, ... En realidad, lo único que nos interesa de una sucesión es el orden en el que se suceden sus elementos, y no la numeración que éstos reciben. Por ello en la práctica admitiremos sucesiones que comiencen en índices mayores de 0. Por ejemplo, la sucesión {n} ∞ n=0 y la sucesión {n − 7} ∞ n=0 son conjuntistamente
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