Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

8.3. Medidas signadas 307
luego el teorema 8.27 implica que |h| ≤1 p.c.t.p. Modificando h en un conjunto
nulo podemos suponer que h = ±1. Ahora basta definir
A = {x ∈ X | h(x) =1}, B = {x ∈ X | h(x) =−1}.
En efecto, por definición de µ + tenemos que para todo conjunto medible E
se cumple
µ + (E) = 1
(1 + h) d|µ| = hd|µ| = µ(E ∩ A).
2 E
E∩A
Igualmente se razona con la variación negativa.
Se dice que el par (A, B) esunapartición de Hann de µ. Como aplicación
obtenemos un par de hechos de interés sobre la derivada de Radon-Nikod´ym de
una medida signada:
Teorema 8.31 Sea µ una medida positiva σ-finita en un conjunto X y f ∈
L 1 (µ). Sea λ la medida signada determinada por dλ = fdµ. Entonces |λ| =
|f| dµ ysig ∈ L 1 (λ) entonces gf ∈ L 1 (µ) y
gdλ=
gf dµ.
X
X
Demostración: Claramente λ ≪ µ, luego |λ| ≪ µ, luego λ + ≪ µ y
λ− ≪ µ. Por el teorema de Radon-Nikod´ym existen funciones f+, f− ∈ L1 (µ)
tales que dλ + = f+ dµ, dλ− = f− dµ. Si(A, B) es una partición de Hann para
λ, podemos exigir que f+ se anule en B y f+ se anule en A. Es claro que
f = f+ − fm p.c.t.p., luego |f| = f+ + f− p.c.t.p.
(f+ + f−) dµ = |f| dµ.
Por consiguiente d|λ| =
La segunda parte del teorema es obvia si g es una función simple. Si g es
positiva tomamos una sucesión creciente {sn} de funciones simples 0 ≤ sn ≤ g
que converja puntualmente a g. Entonces
sn|f| dµ = sn d|λ|.
X
Por el teorema de la convergencia monótona concluimos que
g|f| dµ = gd|λ| < +∞,
luego gf ∈ L1 (µ). También tenemos
sn dλ −
=
X
sn dλ
X
+ −
X
X
X
X
snf dµ
Aplicando el teorema de la convergencia monótona a la izquierda y el de la
convergencia dominada a la derecha llegamos a la igualdad del enunciado. Si g
no es positiva aplicamos la parte ya probada a g + y g − .