Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

102 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
La interpretación geométrica de m es sencilla. En general, si tenemos una
recta r(x) =mx + n, en un punto a tomará el valor r(a) =ma + n. Si nos
trasladamos a un punto a + h con h = 0 obtendremos r(a + h) =ma + mh + n.
El incremento que ha experimentado la función es r(a + h) − r(a) =mh, y si lo
dividimos por el desplazamiento h obtenemos, independientemente de cuál sea
h, el valor m. Es decir,
r(a + h) − r(a)
m = .
h
Geométricamente esto no es sino el teorema de Tales. En definitiva, m expresa lo
que aumenta la función por unidad de avance: si nos desplazamos h = 1 unidad,
la recta aumenta en m unidades, si avanzamos h = 2 unidades, la recta aumenta
2m, etc. Por lo tanto, si el valor de m es grande la recta subirá muy rápidamente,
será una recta muy empinada. Si m = 0 la recta no sube, es constante. Si m
es negativo la recta baja, más rápidamente cuanto mayor sea m en módulo. El
número m se llama pendiente de la recta. Una recta viene determinada por
dos de sus puntos o bien por uno de sus puntos y su pendiente (pues conocido
un punto (a, b) y la pendiente m conocemos más puntos: (a +1,b+ m), por
ejemplo).
Volviendo a nuestro problema, tenemos la recta r(x) =m(x−a)+f(a), cuya
pendiente es m. Nos falta determinar m para que sea la recta que se parece a f.
Consideremos la expresión
f(a + h) − f(a)
m(h) = . (3.1)
h
Esto no es una constante (salvo que f sea una recta), pero si ciertamente f
se parece a una recta r, esta expresión debería parecerse a la pendiente de r.
Si f se parece más a r cuanto más de cerca la miramos, esto es, cuando consideramos
puntos más cercanos al punto a, el valor m(h) debería parecerse más
a la pendiente de r cuanto menor es h. Por ello definimos:
Definición 3.1 Sea f : A −→ R y a un punto interior de A. Diremos que f es
derivable en a si existe (en R)
f ′ (a) = lím
h→0
f(a + h) − f(a)
.
h
Cuando esto sucede, a la recta r(x) =f ′ (a)(x − a) +f(a) se le llama recta
tangente a f en el punto a, f(a) (o para abreviar, en el punto a). El número
f ′ (a) esladerivada de f en el punto a.
Según hemos dicho, una función es derivable en un punto cuando su gráfica
se confunde en un entorno de dicho punto con la de una recta, la recta tangente
a la función en el punto. Esto no es exacto, pues en realidad hay funciones
que se parecen a rectas en los alrededores de un punto y pese a ello no son
derivables. Esto ocurre cuando la recta tangente es vertical, con lo que su
pendiente es infinita y no existe (en R) ellímite que define la derivada. Un
ejemplo lo proporciona la función 3√ x en x =0.