Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.5. El teorema de Taylor 119
Ante todo, si K es un cuerpo y a ∈ K, la aplicación u : K[x] −→ K[x] dada
por u(p) =p(x − a) es un isomorfismo de K-espacios vectoriales. Como los
polinomios 1,x,x 2 ,x 3 ,... son una K-base de K[x], resulta que los polinomios
1, (x − a), (x − a) 2 , (x − a) 3 , (x − a) 4 ,...
son también una K-base, es decir, que todo polinomio de K[x] se expresa de
forma única como
P (x) =c0 + c1(x − a)+c2(x − a) 2 + ···+ cn(x − a) n , (3.4)
para cierto natural n y ciertos coeficientes co,...,cn ∈ K.
Si una función f admite n derivadas en un punto a, las ecuaciones
f(a) =P (a), f ′ (a) =P ′ (a), ... f n) (a) =P n) (a)
son satisfechas por un único polinomio de grado ≤ n. En efecto, si P (x) viene
dado por (3.4), entonces P (a) =c0, luego ha de ser c0
obtenemos
= f(a). Derivando
P ′ (x) =c1 +2c2(x − a)+···+ ncn(x − a) n−1 ,
de donde P ′ (a) =c1, y ha de ser c1 = f ′ (a). Similarmente, P ′′ (a) =2c2, luego
c2 = f ′′ (a)/2. Igualmente se obtiene c3 = f ′′′ (a)/6y, en general, ck = f k) (a)/k!.
En resumen:
P (x) =
n
k=0
f k)
k! (x − a)k .
Recíprocamente, es fácil ver que el polinomio P (x) así definido cumple que
P k) (a) =f k) (a) para k =0,...,n.
Definición 3.21 Sea f una función derivable n veces en un punto a. Llamaremos
polinomio de Taylor de grado n de f en a al polinomio
Pn(f)(x) =
n
k=0
f k)
k! (x − a)k ∈ R[x].
El polinomio de Taylor es el único polinomio P de grado menor o igual
que n que cumple P k) (a) =f k) (a) para k =0,...,n. En particular si f es un
polinomio de grado menor o igual que n se ha de cumplir Pn(f) =f.
Notar también que P0(f) =f(a), y que P1(f) =f(a) +f ′ (a)(x − a) esla
recta tangente a f en a. Nuestra conjetura es que Pn(f) es el polinomio de
grado menor o igual que n que más se parece a f alrededor de a.