Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

6.3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 247
Teorema 6.12 Sea f : D ⊂ R × R nm × R k −→ R n una función de clase C k
con k ≥ 1 en un abierto D. Entonces la ecuación diferencial
y m) (t) =f(t, y, y ′ ,...,y m−1) ,µ)
y(t0) =y0
y ′ (t0) =y ′ 0
······ ···
y m−1) (t0) =y m−1)
0
tiene solución única y(t, µ, t0,y0,y ′ 0,...,y m−1)
0 ) de clase Ck en un entorno de
cada punto (t0,µ,t0,y0,y ′ 0,...,y m−1)
0 ).
Demostración: Basta observar que el problema equivale al sistema de
ecuaciones de primer orden
⎫
y ′ (t) =y1
y ′ 1(t) =y2
······ ···
y ′ m−2(t) =ym−1
y ′ m−1(t) =f(t, y, y1,...,ym−1,µ)
(y, y1,...,ym−1)(t0) =(y0,y ′ 0,...,y m−1
⎪⎭
0 )
donde hemos introducido las variables auxiliares yi, que representan funciones
con valores en R n . Todo este sistema se puede expresar como una única ecuación
vectorial en las condiciones de la sección anterior.
Ejemplo Vamos a calcular todas las soluciones de la ecuación
y ′′ (t) = k
t y′ (t), k ∈ R, t>0.
Obviamente las funciones constantes son soluciones de la ecuación. Si y no
es constante existe un punto t0 > 0 tal que y ′ (t0) = 0. Llamemos y1 = y ′ (t).
En un entorno de t0 tenemos
luego integrando entre t0 y t queda
y ′ 1(t) k
=
y1(t) t ,
log y1(t) − log y(t0) = log x k ,
de donde y1(t) = y1(t0)x k , es decir, y ′ (t) = y ′ (t0)x k . Integrando de nuevo
concluimos que
⎧
⎨
y(t) =
⎩
⎫
⎪⎬
⎪⎭
y ′ (t0)
k +1 xk+1 + y(t0) si k = −1
y ′ (t0) log t + y(t0) si k = −1
⎪⎬