Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

204 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
asociado, sabemos que en un entorno de x(p) el punto X(x) se confunde con
p + dX x(p) x − x(p) , con lo que los puntos de S se confunden con los de
p + dX x(p) [R n ].
Definición 5.8 Sea S ⊂ R m una variedad diferenciable de dimensión n y sea
X : U −→ S una carta alrededor de un punto p ∈ S. Sea x ∈ U tal que
X(x) =p. Llamaremos espacio tangente a S en p a la variedad lineal Tp(S) =
dX(x)[R n ]. Llamaremos variedad tangente a S por p a la variedad afín p+Tp(S).
Puesto que JX(x) tiene rango n, es claro que las variedades tangentes tienen
dimensión n. El teorema 5.5 prueba que el espacio tangente no depende de la
carta con la que se construye, pues si X e Y son dos cartas alrededor de p,
digamos X(x) =Y (y) =p, sabemos que g = X ◦ Y −1 es diferenciable en un
entorno de x y X = g ◦ Y , luego dX(x) =dg(x) ◦ dY (y), luego dX(x) ydY (y)
tienen la misma imagen (pues dg(x) es un isomorfismo). El teorema siguiente
muestra más explícitamente que Tp(S) sólo depende de S.
Teorema 5.9 Sea S ⊂ R m una variedad diferenciable de dimensión n. Entonces
Tp(S) está formado por el vector nulo más los vectores tangentes en p a
todas las curvas regulares que pasan por p contenidas en S.
Demostración: Sea X : U −→ S una carta alrededor de p. Podemos suponer
que es de la forma X(x) = x, f(x) , para una cierta función diferenciable f.
Sea X(p1) =p. Sea v ∈ R n no nulo. Consideremos la curva x(t) =p1 +tv. Para
valores suficientemente pequeños de t se cumple que x(t) ∈ U. Consideremos la
curva α(t) =X(x(t)). Claramente α está contenida en S y cumple α(0) = p.
Su vector tangente en p es
α ′ (0) = dX x(0) (x ′ (0)) = dX(p1)(v).
Esto prueba que todo vector de Tp(S) es de la forma indicada. Recíprocamente,
si α(t) es una curva regular contenida en S que pasa por p, digamos
α(t0) =p, sea x(t) =X −1 (α(t)), definida en un entorno de t0. Se cumple
que x(t) es derivable, pues X −1 no es más que la restricción de la proyección
π : R m −→ R n , que es diferenciable, luego x = α ◦ π. Tenemos α = x ◦ X, luego
α ′ (t) =dX x(t) (x ′ (t)). Esta relación prueba que x ′ (t) = 0 o de lo contrario
también se anularía α ′ (t). Por lo tanto x es regular. Además la tangente de α
en p es α ′ (t0) =dX(p1) x ′ (t0) ∈ Tp(S).
En la prueba de este teorema hemos visto un hecho importante: si α es
una curva contenida en una variedad S y pasa por un punto p, dada una carta
X : U −→ S alrededor de p, podemos trasladar a la carta el arco de curva
alrededor de p, es decir, existe otra curva x en U de modo que α = x ◦ X (en
un entorno de las coordenadas de p). En otras palabras, x es la representación
de α en el mapa de S determinado por X.
Ejercicio: Probar que el plano tangente a una gráfica vista como variedad diferenciable
coincide con el que ya teníamos definido.