Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

xiv Introducción
la medida de lo posible hemos evitado presentar las aplicaciones como
animales enjaulados en un zoológico, es decir, desvinculadas de sus contextos
naturales, de manera que den más la impresión de anécdotas que
de verdaderos éxitos del cálculo infinitesimal. En el caso de la física vamos
introduciendo los conceptos fundamentales (velocidad, aceleración,
fuerza, energía, etc.) según van siendo necesarios, de modo que de estas
páginas podría extraerse una sucinta introducciónalafísica. En lo tocante
a la geometría, por los motivos explicados en el segundo punto nos
hemos restringido a trabajar con subvariedades de Rn , es decir, hemos evitado
la definición abstracta de variedad para tener así una interpretación
natural de los espacios tangentes y su relación con la variedad. En algunos
ejemplos concretos necesitamos que el lector esté familiarizado con la
geometría proyectiva, la teoría de las secciones cónicas y otros puntos de
la geometría pre-diferencial. Los hemos marcado con un asterisco. Ninguno
de estos ejemplos es necesario para seguir el resto del libro. Uno de
ellos, el del plano proyectivo, lo usamos de forma no rigurosa para ilustrar
la necesidad de una definición más general de variedad, mostrando que
muchos de los conceptos que definimos para una subvariedad de R3 son
aplicables formalmente al caso del plano proyectivo, si bien la teoría de
que disponemos no nos permite justificar esta aplicación.
De los puntos anteriores no debe leerse entre líneas una cierta aversión hacia
el análisis abstracto. Al contrario, creemos que este libro puede ser continuado
de forma natural en muchas direcciones: la teoría espectral, la teoría de distribuciones,
el análisis de Fourier, el cálculo variacional, la teoría de funciones de
variable compleja, la geometría diferencial y la topología general.
Por citar algunos ejemplos, nosotros probamos que el problema de Dirichlet
tiene solución en una familia muy amplia de abiertos para unas condiciones de
frontera dadas, pero la resolución explícita en casos concretos requiere de la
transformada de Fourier, que en general se aplica a muchas otras ecuaciones
en derivadas parciales. Por otra parte, la transformada de Fourier permite descomponer
una onda en su espectro continuo de frecuencias. Cuando se estudia
la solución de la ecuación de ondas en abiertos distintos de todo R3 aparecen
las ondas estacionarias, que llevan al análisis espectral y, en casos particulares,
a la teoría de series de Fourier o de las funciones de Bessel entre otras. Los
problemas de gravitación o electromagnetismo que involucran masas y cargas
puntuales o corrientes eléctricas unidimensionales pueden unificarse con los problemas
que suponen distribuciones continuas de masas, cargas y corrientes a
través de la teoría de distribuciones.
Tampoco nos gustaría que las comparaciones que hemos hecho con otros
libros se interpreten a modo de crítica. Tan sólo queremos hacer hincapié en que
nuestros objetivos son distintos a los de muchos otros libros. Somos conscientes
de que nuestro propósito de justificar las definiciones más allá de una motivación
más o menos dudosa nos ha llevado a seguir caminos mucho más profundos y
laboriosos que los habituales, por lo que, a pesar de su carácter autocontenido
en lo tocante a topología y análisis, es muy difícil que este libro sea de utilidad
a un lector que no cuente ya con una cierta familiaridad con la materia. Por ello