Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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294 Capítulo 8. Teoría de la medida II Fijado x ∈ ]−r, r[, la función (y, z) ↦→ χS(x, y, x) es la función característica de un círculo de radio √ r2 − x2 y la integral interior es el área de este círculo, o sea, vale π(r2 − x2 ). Así pues, el volumen de la esfera es r π(r −r 2 − x 2 ) dx = πr 2 x − πx3 r = 3 −r 4 3 πr3 . Ejemplo Vamos a generalizar el cálculo anterior. Sea B n r = {x ∈ R n | x 1 1 + ···+ x 2 n ≤ r}. Vamos a probar que m(B n r )=vnr n , para una cierta constante vn que también calcularemos. Razonaremos por inducción sobre n. El ejemplo anterior es el caso n = 3, para el cual vn =(4/3)π, Claramente v2 = π. En general, si χn es la función característica de Bn r y fijamos x1 ∈ ]−r, r[, la función (χn)x1 es la función característica de una bola en Rn−1 de radio r2 − x2 1 . Por hipótesis de inducción m(B n r r )= vn−1(r −r 2 − x 2 1) (n−1)/2 dx1. Hacemos el cambio de variable x1 = r sen θ, con lo que m(B n r )=vn−1r n π/2 −π/2 cos n θdθ. Si llamamos κn = π/2 −π/2 cosn θdθ, hemos probado que m(Bn r )=vn−1κn rn , luego el resultado es cierto para n con vn = vn−1κn. Con la notación del ejemplo de la página 147 tenemos que κn =[I0,n] π/2 −π/2 . Si suponemos n ≥ 2 los cálculos de dicho ejemplo nos dan que n − 1 κn = n κn−2. Una simple inducción nos da ahora que κnκn−1 = 2π n . En efecto, basta usar la relación anterior y tener en cuenta que κ0 = π/2 dθ = π, κ1 = π/2 cos θdθ=2. −π/2 −π/2 Por consiguiente vn = vn−1κn = vn−2κnκn−1. Asíllegamos a las relaciones v1 =2, v2 = π, vn = 2π n vn−1, que nos permiten calcular fácilmente vn para cualquier valor de n.
8.2. Espacios L p 295 8.2 Espacios L p En las secciones posteriores vamos a necesitar algunos resultados abstractos referentes a ciertos espacios de funciones integrables que estudiaremos aquí. Introducimos primero una noción elemental del análisis de una variable que nos va a ser de gran ayuda: Definición 8.11 Una función f : I −→ R definida en un intervalo abierto es convexa si cuando x, y ∈ I y0
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Capítulo III Cálculo diferencial
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Capítulo V Introducción a las var
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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