Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

164 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
omás claramente:
dx = cos θdρ− ρ sen θdθ,
dy = sen θdρ+ ρ cos θdθ.
También podríamos haber calculado dx y dy de forma independiente.
4.2 Propiedades de las funciones diferenciables
Vamos a estudiar las funciones diferenciables. Entre otras cosas obtendremos
un criterio sencillo que justificará la diferenciabilidad de la mayoría de funciones
de interés. Comenzamos observando que en funciones de una variable la
diferenciabilidad equivale a la derivabilidad.
Teorema 4.7 Sea f : A ⊂ R −→ R m una función definida en un abierto A y
sea a ∈ A. Entonces f es diferenciable en a siysólo si existe la derivada de f
en a. Además en tal caso df (a)(h) =f ′ (a)h.
Demostración: Si f es derivable en a entonces existe
f ′ f(a + h) − f(a)
(a) = lím
= k,
h→0 h
luego
f(a + h) − f(a) − kh
lím
=0,
h→0 h
y si multiplicamos por la función acotada h/|h| el límite sigue siendo 0, es decir,
tenemos
f(a + h) − f(a) − kh
lím
=0,
h→0 |h|
lo que indica que f es diferenciable y que df (a)(h) =f ′ (a)h.
El recíproco se prueba igualmente, partiendo de que df (a)(h) =kh se llega
a que existe f ′ (a) =k.
Teorema 4.8 Si f : A ⊂ R n −→ R m es diferenciable en un punto a, entonces
f es continua en a.
Demostración: Tenemos que
f(a + v) − f(a) − df (a)(v)
lím
=0.
v→0
v
Multiplicamos por v, que también tiende a 0, con lo que
lím f(a + v) − f(a) − df (a)(v) =0.
v→0