Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.1. Grupos de cohomología 399
Los elementos de Ck (en un complejo directo) se llaman cadenas de dimensión
k y los de C k (en un complejo inverso) se llaman cocadenas de dimensión k.
Los elementos de Zk = N(∂k) (el núcleo de ∂k) se llaman ciclos de dimensión
k. Respectivamente, los elementos de Z k = N(∂ k ) se llaman cociclos
de dimensión k.
Los elementos de Fk = Im(∂k+1) (resp. F k = Im(∂ k−1 )) se llaman fronteras
(resp. cofronteras) de dimensión k.
La condición ∂ ◦ ∂ = 0 implica que Fk ⊂ Zk (resp. F k ⊂ Z k ). El módulo
cociente Hk(C) =Zk/Fk (resp. H k (C) =Z k /F k ) recibe el nombre de grupo
de homología (resp. grupo de cohomología) de dimensión k. Dos (co)ciclos son
(co)homólogos si pertenecen al la misma clase de (co)homología.
Una vez entendida la cuestión de notación, en lo que sigue desarrollaremos
la teoría en términos de cohomología, pues las álgebras de Grassmann son complejos
inversos. Si C es un complejo, definimos
H(C) =
H k (C),
k∈Z
que es obviamente un módulo graduado.
Definición 11.3 Sea S una variedad diferenciable. El grupo de cohomología
de dimensión k del álgebra de Grassmann Λ(S) recibe el nombre de grupo de
cohomología de De Rham de dimensión k de la variedad S y se representa por
Hk (S). Llamaremos
H(S) =
H k (S).
k∈Z
Notemos que las cocadenas de dimensión k son las k-formas, los cociclos son
las k-formas cerradas y las cofronteras son las k-formas exactas. Los grupos de
cohomología son en este caso espacios vectoriales sobre R.
Si S es una variedad de dimensión n es evidente que H k (S) = 0 para kn. Los 0-cociclos son las funciones en S cuya diferencial es nula. Si S
es conexa son exactamente las funciones constantes y como F 0 = 0, concluimos
que H 0 (S) ∼ = R. Más en general, es fácil ver que si S tiene p componentes
conexas entonces H 0 (S) ∼ = R p .
El objetivo de la teoría que estamos desarrollando es calcular los grupos de
cohomología H k (S) para 1 ≤ k ≤ n, pues si probamos que H k (S) = 0 entonces
sabemos que las k-formas exactas coinciden con las cerradas y tenemos así una
caracterización sencilla de las primeras.
Definición 11.4 Un homomorfismo de complejos φ : C −→ C ′ es un homomorfismo
de grado 0 tal que φ◦∂ ′ = ∂ ◦φ, o equivalentemente, tal que los diagramas