Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

8.5. El teorema de cambio de variable 313
8.5 El teorema de cambio de variable
En esta sección probaremos un teorema fundamental para el cálculo de integrales,
junto con el teorema de Fubini. Se trata de la generalización a funciones
de varias variables de la regla de integración por sustitución. El planteamiento
es el siguiente: Supongamos que g : U −→ V es un difeomorfismo entre dos
abiertos en Rn , el problema es relacionar la integral de una función f : V −→ R
con la de g ◦ f. Según el teorema 7.35, si g fuera una aplicación lineal de determinante
∆ se cumpliría que m g(A) = |∆| m(A), para todo conjunto medible
A ⊂ U. En este caso no es difícil deducir que
fdm= |∆| (g ◦ f) dm.
V
En el caso general, sabemos que en un entorno de cada punto x la aplicación g
se confunde con su diferencial dg(x), que es una aplicación lineal de determinante
∆g(x) = det Jg(x) (el determinante jacobiano de g en x). Esto se traduce en
que si A es un conjunto medible contenido en un entorno de x suficientemente
pequeño, entonces m g(A) ≈|∆g(x)| m(A). Esto es suficiente para llegar a un
resultado análogo al caso lineal:
fdm= (g ◦ f)|∆g| dm.
V
U
Éste es el contenido del teorema de cambio de variable. La prueba detallada
no es trivial en absoluto, sino que depende de una gran parte de los resultados
que hemos visto hasta ahora. Observemos que dg(x) es de hecho un isomorfismo,
luego ∆g(x) = 0. Comencemos probando la relación entre la medida de un
conjunto y la de su imagen para el caso de bolas abiertas:
Teorema 8.39 Sea g : U −→ V un difeomorfismo entre dos abiertos de Rn y
x ∈ U. Entonces
m
lím
r→0
g[Br(x)]
m = |∆g(x)|.
Br(x)
Demostración: Puesto que la medida de Lebesgue es invariante por traslaciones,
no perdemos generalidad si suponemos x =0yg(0) = 0. Sea φ = dg(0)
y h = g ◦ φ −1 . Probaremos que
lím
r→0
U
m h[Br(0)]
m =1.
Br(0)
El teorema 7.35 nos da que m h[Br(0)] = |∆g(0)| −1 m g[Br(x)] , luego la
igualdad anterior implica la que figura en el enunciado. La aplicación h cumple
h(0) = 0 y además dh(0) es la aplicación identidad. Por definición de diferenciabilidad
esto significa que
h(x) − x
lím
x→0 x =0.