Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 423
En general, si f es una función holomorfa en un abierto de C que extiende
a una función real g : I −→ R, para un cierto intervalo I, es decir, si Re f|I = g
eImg|I = 0, para todo x ∈ I tenemos que
f ′ ∂ Re f Im f
(x) = (x)+i∂
∂x ∂x (x) =g′ (x),
es decir, si una función holomorfa f extiende a una función real g, entonces la
derivada compleja de f extiende a la derivada real de g.
Llamaremos H(Ω) al conjunto de todas las funciones holomorfas en el abierto
Ω ⊂ Cn . Es claro que la suma de funciones holomorfas es holomorfa, así como el
producto de un número complejo por una función holomorfa, más aún, se cumple
la relación d(α1f + α2g) =α1df + α2dg, con lo que H(Ω) tiene estructura de
C-espacio vectorial. En el caso de una variable tenemos la regla de derivación
(α1f + α2g) ′ = α1f ′ + α2g ′ .
El producto de funciones holomorfas también es una función holomorfa. Para
probarlo consideramos la aplicación f : C2 −→ C dada por f(z1,z2) =z1z2 =
x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1). Es claro que
∂ Re f ∂ Im f ∂ Re f
∂ Im f
= x2 = , = −y2 = − ,
∂x1
∂y1 ∂y1
∂x1
∂ Re f ∂ Im f ∂ Re f
∂ Im f
= x1 = , = −y1 = − ,
∂x2
∂y2 ∂y2
∂x2
luego z1z2 es holomorfa y d(z1z2) =z2 dz1 +z1 dz2. Usando la regla de la cadena
deducimos que si f, g ∈ H(Ω) entonces fg ∈ H(Ω) y d(fg)=fdg+ gdf. Esto
implica que H(Ω) tiene estructura de álgebra. En el caso de funciones de una
variable tenemos la regla usual de derivación de productos. Ahora es evidente
que el anillo de polinomios C[z1,...,zn] está contenido en H(Cn ).
Ejercicio: Probar que la función 1/z es holomorfa en C \{0} y d(1/z) =(−1/z 2 ) dz.
Concluir que si f :Ω⊂ C n −→ C es una función holomorfa que no se anula, entonces
1/f(z) es también holomorfa.
Ejercicio: Probar que las funciones sen z y cos z son holomorfas, así como que
(sen z) ′ = cos z, (cos z) ′ = − sen z.
Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto. Toda 1-forma compleja en Ω es de la forma
ω =Reω + i Im ω, donde Re ω eImω son dos 1-formas reales en Ω. Si ω es de
clase C 1 (es decir, si lo son sus partes real e imaginaria) definimos la 2-forma
compleja dω = d Re ω + idIm ω. Si f :Ω−→ C es una función holomorfa
podemos considerar la 1-forma
f(z) dz = Re f(z) dx − Im f(z) dy + i Re f(z) dy +Imf(z) dx .
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que d(f(z) dz) = 0. Por consiguiente,
si H 1 (Ω) = 0 podemos concluir que existe una 0-forma compleja
g =Reg + i Im g de clase C 1 en Ω de modo que
Re f(z) dx − Im f(z) dy =
∂ Re g
∂x
dx + ∂ Re g
∂y
dy,