Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.5. Superficies 221
vuelta completa obtendríamos un vector normal sobre α que variaría de forma
continua, pero es claro que al dar una vuelta completa el vector normal termina
en sentido inverso a como empezó, cuando por continuidad debería tender al
vector de partida.
La aplicación de Gauss aporta información importante sobre las superficies
y simplifica algunos de los conceptos que hemos estudiado para variedades arbitrarias.
Por ejemplo, en la sección anterior hemos estudiado la componente
tangencial (o geodésica) de la curvatura de una curva contenida en una variedad.
Del mismo modo podemos definir la curvatura normal como el módulo de
la componente normal de la segunda derivada. En el caso de las superficies en
R 3 podemos apoyarnos en la aplicación de Gauss.
Definición 5.24 Sea S una superficie (al menos de clase C 2 )yα una curva
contenida en S parametrizada por el arco y que pase por un punto p. Fijada
una determinación n del vector normal a S alrededor de p, llamaremos curvatura
normal de α a κn = α ′′ n. Definimos Nn = κnn y Nt = α ′′ − Nn.
Notemos que el signo de κn depende de la determinación que elijamos de la
aplicación de Gauss. Supongamos que sobre una carta la curva es u(t),v(t) .
Entonces
α ′ = Xuu ′ +Xvv ′ , α ′′ = Xuuu ′2 +Xuu ′′ +Xuvu ′ v ′ +Xuvu ′ v ′ +Xvvv ′2 +Xvv ′′ ,
luego
κn = α ′′ n =(Xuun)u ′2 +2(Xuvn)u ′ v ′ +(Xvvn)v ′2 .
Llamamos
e = Xuun, f = Xuvn, g = Xvvn,
que son funciones de la carta X (salvo por el signo, que depende de la elección
del sentido de n). Si la parametrización de la curva no es la natural y s(t) esla
longitud de arco, usamos la regla de la cadena:
du
dt
= du
ds
ds
dt ,
dv
dt
dv ds
=
ds dt ,
con la que la fórmula, llamando ahora u ′ , v ′ , s ′ a las derivadas respecto de t
(hasta ahora eran las derivadas respecto de s), se convierte en
κn = eu′2 +2fu ′ v ′ + gv ′2
s ′2 .
Observemos que esta expresión no depende de la curva (u, v), sino sólo de
su derivada (u ′ ,v ′ ) (recordemos que s ′ = (u ′ ,v ′ )). De aquí deducimos:
Teorema 5.25 (Teorema de Meusnier) Si S es una superficie, todas las
curvas contenidas en S que pasan por un punto p con un mismo vector tangente
tienen la misma curvatura normal. Ésta viene dada por
κn = edu2 +2f dudv + gdv2 Edu2 .
+2F dudv + Gdv2