Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 175
Teorema 4.20 Si f : A ⊂ R n −→ R m es una función diferenciable en un
abierto conexo A y df =0, entonces f es constante.
Demostración: Podemos suponer m = 1. Dados dos puntos a, b ∈ A,
existe una poligonal contenida en A con extremos a y b. Basta probar que f
toma el mismo valor en los vértices de la poligonal, luego en definitiva basta
probar que si a y b son los extremos de un segmento contenido en A entonces
f(a) = f(b). Consideramos la función φ(t) = f(a + t(b − a)) en [0, 1] y le
aplicamos el teorema del valor medio. Concluimos que
f(b) − f(a) =φ ′ (t) =df (a + t(b − a))(b − a) =0.
4.3 Curvas parametrizables
Las técnicas de este capítulo nos capacitan para estudiar curvas más eficientemente
que las del capítulo anterior. En efecto, allí estudiábamos curvas
considerándolas como gráficas de funciones de una variable, pero esto no permite
trabajar con curvas cualesquiera. Por ejemplo, una elipse no es la gráfica
de ninguna función. Ahora podemos aplicar la derivabilidad al estudio de curvas
en el sentido de aplicaciones x : I −→ Rn , donde I es un intervalo en R. Para
que una tal aplicación x pueda ser llamada “curva” razonablemente, deberemos
exigir al menos que sea continua. Aquí nos centraremos en las curvas que
además son derivables. Si una curva está definida en un intervalo cerrado [a, b],
exigiremos que sea derivable en ]a, b[. A estas curvas las llamaremos arcos. Si
x :[a, b] −→ Rn , los puntos x(a) yx(b) se llaman extremos del arco. Concretamente,
x(a) eselextremo inicial y x(b) eselextremo final. La gráfica de una
función continua f :[a, b] −→ R puede identificarse con el arco x(t) = t, x(t) .
De este modo, el tratamiento de los arcos que estamos dando aquí generaliza al
del capítulo anterior.
Según lo dicho, una curva no es un mero conjunto de puntos en Rn , sino un
conjunto de puntos recorridos de un modo en concreto. Si x(t) es una curva, la
variable t se llama parámetro de la misma. Conviene imaginarse a t como una
variable temporal, de modo que x(t) es la posición en el instante t de un punto
móvil que recorre la curva. La imagen de x es la trayectoria del móvil.
Vamos a interpretar la derivabilidad de una curva x(t) en un punto t. Si
existe x ′ (t) =v = 0, entonces para valores pequeños de h tenemos
x(t + h) − x(t)
h
≈ v, (4.1)
luego x(t+h) ≈ x(t)+hv. La curva x(t)+hv, cuando varía h, recorre los puntos
de una recta, y estamos diciendo que para valores pequeños de h la curva x se
parece a dicha recta. Así pues, la recta de dirección x ′ (t) se confunde con la
curva alrededor de x(t), y por ello la llamamos recta tangente a x en x(t). Esto