Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

184 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
con lo que el vector normal es N(s) =− cos(s/r), sen(s/r) y la curvatura es
κ(s) =1/r. Intuitivamente es claro que una circunferencia está menos curvada
cuanto mayor es su radio, tal y como se pone de manifiesto en la fórmula que
hemos obtenido.
Dada una curva x de curvatura no nula en un punto dado x(s), la circunferencia
de radio r =1/κ(s) y centro x(s)−κN(n) pasa por x(s) y tiene el mismo
vector tangente, el mismo vector normal y la misma curvatura en este punto.
Esto hace que sea la circunferencia que más se parece a x en un entorno de x(s)
y se la llama circunferencia osculatriz a x por x(s). El radio r(s) =1/κ(s) se
llama radio de curvatura de x en x(s).
Veamos ahora fórmulas explícitas para calcular el vector normal y la curvatura
cuando la parametrización no es la natural. Conviene usar el lenguaje de la
cinemática. Supongamos que x(t) representa la posición de un móvil puntual en
función del tiempo. Llamaremos x(s) a la parametrización natural. Entonces la
velocidad del móvil es V = x ′ (t). Si llamamos v = v, entonces sabemos que
v = s ′ (t), con lo que v es la velocidad sobre la trayectoria, que mide la distancia
recorrida por unidad de tiempo. Además V = x ′ (t) =x ′ (s)s ′ (t), es decir,
V = vT.
Se define el vector aceleración como A = V ′ = X ′′ (t). Derivando en la
relación anterior tenemos
A = v ′ (t)T (t)+v(t)T ′ (t).
Llamaremos a(t) =v ′ (t), que es la aceleración sobre la trayectoria, es decir la
variación de la velocidad sobre la trayectoria por unidad de tiempo. Aplicando
la regla de la cadena a T (t) =T (s(t)) obtenemos T ′ (t) =T ′ (s)s ′ (t) =κvN,
luego
A = aT + κv 2 N = aT + v2
r N.
Vemos, pues, que la aceleración se descompone de forma natural en una
componente tangencial, que mide la variación del módulo de la velocidad, y una
componente normal, que determina la curvatura.
Ahora multiplicamos esta igualdad por sí misma: A2 = a2 + κ2v4 ,de
donde
κ 2 = A2 − a2 v4 .
luego
Ahora bien,
lo que nos da
a = v ′ = V ′ = VV′ VV′
=
V v ,
κ 2 = A2 v 2 − (VV ′ ) 2
v 6
κ =
= V ∧ A2
V ∧ A
v3 .
v6 ,