Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

186 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
Vemos que si τ = 0 en todo punto entonces B es constante, luego (xB) ′ =
x ′ B = TB = 0 implica que xB es constante, luego x está contenido en un plano
perpendicular a B, luego la curva es plana. El recíproco es claro. Así pues,
las curvas sin torsión son exactamente las curvas planas. En general, el plano
x(s)+〈T (s),N(s)〉 recibe el nombre de plano osculante a la curva. Si la curva es
plana, su plano osculante es el mismo en todo punto, y la curva está contenida
en él. En caso contrario, puede probarse que el plano osculante en un punto es
el plano más próximo a la curva en un entorno del punto. La tercera fórmula
de Frenet muestra que la torsión mide la rapidez con que varía B o, lo que es
lo mismo, la rapidez con la que varía el plano osculante.
A continuación derivamos una fórmula explícita para la torsión de una curva.
Si x está parametrizada por la longitud de arco, entonces
luego,
N = x′′
κ , N′ = x′′′ κ − x ′′ κ ′
κ2 τ = −BN ′ =(T ∧ N)N ′ = − 1
κ (x′ ∧ x ′′ )N ′ = − (x′ ∧ x ′′ )x ′′′
κ2 .
= − (x′ ,x ′′ ,x ′′′ )
κ2 ,
donde (u, v, w) =u(v∧w)eselproducto mixto de vectores. Si la parametrización
no es la natural tenemos evidentemente
B = x′ ∧ x ′′
x ′ ∧ x ′′ ,
yuncálculo rutinario nos lleva de la expresión que tenemos para τ(s) a
τ = − (x′ ,x ′′ ,x ′′′ )
x ′ ∧ x ′′ .
2 Ejercicio: Calcular la curvatura y la torsión de la hélice (r sen t, r cos t, kt).
Para acabar probaremos que la curvatura y la torsión determinan una curva
salvo por su posición en el espacio.
Teorema 4.23 Sean x, ¯x : I −→ R 3 dos curvas con las mismas funciones κ y
τ. Entonces existe una isometría f : R 3 −→ R 3 tal que x(s) =f ¯x(s) para
todo s ∈ I.
Demostración: Es fácil comprobar que los vectores del triedro de Frenet,
así como la curvatura y la torsión se conservan por isometrías, en el sentido de
que, por ejemplo, si f es una isometría se cumple Tx◦f (s) = f ◦ Tx, donde f es
la isometría lineal asociada a f. Igualmente κx◦f (s) =κ(s), etc.
Sea s0 ∈ I. Aplicando una isometría a ¯x podemos exigir que x(s0) =¯x(s0),
T (s0) = ¯ T (s0), N(s0) = ¯ N(s0), B(s0) = ¯ B(s0), κ(s0) =¯κ(s0), τ(s0) =¯τ(s0).
Probaremos que en estas condiciones x =¯x.