Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.2. La diferencial exterior 363
10.2 La diferencial exterior
Recordemos que nos dirigimos hacia la prueba del teorema de Stokes generalizado,
que nos da una relación de la forma
dω = ω.
S
Ahora ya sabemos qué debemos entender por ∂S, pero nos falta definir la
diferencial de una k-forma arbitraria ω, que ha de ser una k + 1-forma. La
idea básica es muy simple: la diferencial de la n-forma fdx1 ∧···∧dxk será la
k + 1-forma df ∧ dx1 ∧···∧dxk. Sin embargo, esto no nos sirve como definición,
pues hemos de justificar que el resultado no depende del sistema de coordenadas
con el que trabajamos. Como al diferencial perdemos un grado de derivabilidad,
para evitar cuestiones técnicas al respecto a partir de ahora supondremos que
todas las variedades y funciones que consideremos serán de clase C ∞ . El lector
puede entretenerse relajando las hipótesis de derivabilidad en cada caso hasta
las estrictamente necesarias. Todos los resultados valen para variedades con
frontera.
Teorema 10.7 Si S es una variedad diferenciable existe una única aplicación
lineal d :Λ(S) −→ Λ(S) que cumple las propiedades siguientes:
a) Si f ∈ Λ 0 (S), entonces df es la diferencial de f en el sentido usual.
b) Para cada ω ∈ Λ k (S) se cumple que dω ∈ Λ k+1 (S).
c) Si ω1 ∈ Λ k (S) y ω2 ∈ Λ(S), entonces
d) d 2 = d ◦ d =0.
∂S
d(ω1 ∧ ω2) =dω1 ∧ ω2 +(−1) k ω1 ∧ dω2.
e) Si ω ∈ Λ(S) se anula en un abierto V ⊂ S entonces dω también se anula
en V .
Demostración: En primer lugar probaremos que la última propiedad es
consecuencia de las anteriores. Para cada p ∈ V existe una función {p} ≺f ≺ V .
Entonces la forma fω es nula, y como la diferencial es lineal ha de ser
0=d(fω)=df ∧ ω + f ∧ dω,
luego dω(p) =(f ∧ dω)(p) =−df (p) ∧ 0=0.
Notemos que la propiedad e) junto con la linealidad de la diferencial prueba
que si dos formas coinciden en un abierto de S entonces sus diferenciales también
coinciden.
Ahora probamos que si existe la diferencial es única. Tomemos un punto
p ∈ S y sea X : U −→ V ⊂ S una carta alrededor de p. Tomemos un entorno
de p cuya clausura K sea compacta y esté contenida en V . Sea K ≺ f ≺ V .