Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

382 Capítulo 10. El teorema de Stokes
que Vf es de clase C2 en Bɛ(x0) basta probar que lo es V1, y además tendremos
∆Vf (x0) =∆V1(x0). Ya sabemos que
∂V1
(x) = f(y)
∂xi
Bɛ(x0)
∂
1
∂xi x − yn−2
dm(y)
= − f(y)
Bɛ(x0)
∂
1
∂yi x − yn−2
dm(y)
∂ f(y)
= −
Bɛ(x0) ∂yi x − yn−2
1
−
x − yn−2
∂f
(y) dm(y).
∂yi
La integral del segundo término es el potencial newtoniano de la derivada
de f, luego sabemos que tiene derivada continua y viene dada por
∂
1
∂xi Bɛ(x0) x − yn−2
∂f
∂ 1
(y) dm(y) =
∂yi
Bɛ(x0) ∂xi x − yn−2
∂f
(y) dm(y)
∂yi
Nos ocupamos ahora del otro término. Aplicamos el teorema de la divergencia
al campo F dado por
F (y) = f(y)
ei,
x − yn−2 donde ei es el i-ésimo vector de la base canónica. La divergencia de F es nuestro
integrando y su flujo a través de la esfera de radio ɛ (precedido del signo negativo
de nuestra integral) es
f(y)
−
∂Bɛ(x0) x − yn−2 ein(y) dσ(y),
donde n es el vector unitario normal a la esfera y dσ es el elemento de medida
de la esfera. A esta integral también le podemos aplicar 7.23, con lo que tiene
derivada continua respecto a xi y viene dada por
f(y)
(n − 2)
x − yn (xi − yi)ein(y) dσ(y).
∂Bɛ(x0)
En este punto ya tenemos que V1 es de clase C2 en Bɛ(x0). Teniendo en
cuenta que n(y) =(y− x0)/x0 − y, al particularizar en x0 tenemos en total
∂2V1 ∂x2 (x0)
i
=
f(y)(x0i − yi)
−(n − 2)
∂Bɛ(x0)
2
ɛn+1 +
dσ(y)
∂ 1
Bɛ(x0) ∂xi x − yn−2
(x0,y) ∂f
(y) dm(y).
∂yi
Por consiguiente:
∆Vf (x0) =∆V1(x0) =
n − 2
−
ɛn−1 +
f(y) dσ
∂Bɛ(x0)
n
∂ 1
∂xi x − yn−2
(x0,y) ∂f
dm.
∂yi
i=1
Bɛ(x0)