Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.6. La curvatura de Gauss 229
obtenemos cartas con dominios de la forma ]x0 − π, x0 + π[ × ]1, +∞[ demodo
que la primera forma fundamental pasa a ser
ds 2 = dx2 + dy2 y2 ,
es decir, exactamente la del semiplano de Poincaré. Un cálculo rutinario nos da
la forma explícita de estas cartas:
cos x sen x y2 − 1
X(x, y) = , , − +
y y y
1
1
log(y − 1) +
2 2 logy + y2 − 1
.
Esto significa que un fragmento del semiplano de Poincaré de la forma
]x0 − π, x0 + π[ × ]1, +∞[ puede verse como un mapa de la pseudoesfera de
modo que la longitud hiperbólica en el mapa coincide con la longitud euclídea
sobre la superficie. Por lo tanto la porción de pseudoesfera cubierta por la
carta (toda ella menos un meridiano x =cte.) puede identificarse con un fragmento
de plano hiperbólico exactamente igual que una porción de esfera puede
identificarse con un fragmento de plano elíptico.
La situación es, como decíamos, análoga a la del cilindro dado por
r cos(v/r),rsen(v/r),u ,
cuya primera forma fundamental es ds 2 = dx 2 + dy 2 , igual que la del plano. La
diferencia es que, en este caso, al quitarle una recta x =cte. podemos desplegarlo
hasta hacerlo plano sin modificar su primera forma fundamental, mientras que
la pseudoesfera no puede desplegarse sin sufrir estiramientos que alteren su
métrica y su curvatura. Por ello no podemos extenderla a un plano hiperbólico
completo.