Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

260 Capítulo 7. Teoría de la medida
Una sucesión converge si y sólo si tiene un único punto adherente (su límite),
por lo que {an} ∞ n=0 converge si y sólo si lím an =lím an y entonces
n n
lím n an =lím n
an =lím n an.
Si {fn} ∞ n=0 es una sucesión de funciones fn : X −→ [−∞, +∞], definimos
puntualmente las funciones sup fn, ínf fn, lím fn y lím fn. Si la sucesión es
n n n n
puntualmente convergente las dos últimas funciones coinciden con la función
límite puntual lím fn.
n
Teorema 7.8 Si las funciones fn son medibles, también lo son las funciones
sup fn, ínf fn, lím fn y lím fn.
n n n n
Demostración: Claramente
−1 ]x,
∞
+∞] =
sup fn
n
n=0
f −1
n ]x, +∞] ,
es medible. Igualmente se prueba con ínfimos y de aquí se deducen los resultados
sobre límites superiores e inferiores. En particular, el límite puntual de una
sucesión de funciones medibles es una función medible.
Si X es un espacio medida y E es un subconjunto medible, entonces los
subconjuntos medibles de E forman una σ-álgebra de subconjuntos de E yla
medida de X restringida a esta σ-álgebra es una medida en E. En lo sucesivo
consideraremos a todos los subconjuntos medibles de los espacios medida como
espacios medida de esta manera.
Notar que si X = ∞
En es una descomposición de X en subconjuntos
n=0
medibles (no necesariamente disjuntos), entonces f : X −→ Y es medible si y
sólo si lo son todas las funciones f|En , pues si f es medible y G es un abierto
en Y ,(f|En )−1 [G] =f −1 [G] ∩ En, luego (f|En )−1 [G] es medible, y si las f|En
son medibles, entonces f −1 [G] =(f|En) −1 [G], luego también es medible.
Si E es un subconjunto de X, su función característica χE es medible si y
sólo si lo es E.
Si extendemos una función medible f : E −→ [−∞, +∞] asignándole el valor
0 fuera de E, obtenemos una función medible en X. Por ello identificaremos
las funciones medibles f : E −→ [−∞, +∞] con las funciones medibles en X
que se anulan fuera de E. En particular identificaremos la restricción a E de
una función f : X −→ [−∞, +∞] con la función fχE.
Los resultados que hemos dado son suficientes para garantizar que todas las
funciones que manejaremos y los conjuntos definidos por ellas son medibles. No
insistiremos en ello a menos que haya alguna dificultad inusual.