Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

130 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
4
3
2
1
e x
log x
-4 -2 2 4
-1
-2
-3
-4
El teorema de la función inversa nos da que y = log x es derivable, y su
derivada es y ′ =1/(e y ) ′ =1/e y =1/x.
De las propiedades de la función exponencial se deducen inmediatamente las
de la función logarítmica. Obviamente es una función estrictamente creciente,
además verifica la ecuación funcional log(xy) = log x + log y. También es claro
que log 1 = 0, log e =1y
lím log x =+∞, lím log x = −∞.
x→+∞ x→0
Veamos cómo puede calcularse en la práctica un logaritmo. Es decir, vamos
a calcular el desarrollo de Taylor de la función log. Obviamente no hay un
desarrollo en serie sobre todo ]0, +∞[. Si desarrollamos alrededor del 1 a lo
sumo podemos obtener una serie convergente en ]0, 2[.
Como las series de potencias centradas en 0 son más fáciles de manejar,
vamos a desarrollar en 0 la función log(1 + x). Sus derivadas son
(1 + x) −1 , −(1 + x) −2 , 2(1 + x) −3 , −2 · 3(1 + x) −4 ,...
y en general, la derivada n-sima es (−1) n+1 (n − 1)!(1 + x) −n . Puesto que
log(1 + 0) = 0, la serie de Taylor queda:
Como
lím n
∞
n=1
1/(n +1)
1/n
(−1) n
n xn .
=lím n
n
n +1 =1,
el radio de convergencia es 1 (como era de esperar), luego la serie converge en
]−1, 1[. De hecho en x = −1 obtenemos una serie divergente, pero en x =1
(−1)
n=1
n
n , que es convergente luego, con exactitud, la serie converge en
el intervalo ]−1, 1].
queda ∞