Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

6.3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 249
leyes básicas de la dinámica y de su ley de gravitación. Vamos a comprobar
que las trayectorias de los objetos sometidos a un campo de fuerzas como el que
estamos considerando son rectas o secciones cónicas.
En primer lugar, es claro que si un cuerpo se encuentra en un punto x0
en las proximidades del Sol con una velocidad v0, su trayectoria no saldrá del
plano determinado por los vectores x0 y v0 (o de la recta que determinan, si
son linealmente dependientes). Por ello podemos tomar el sistema de referencia
de modo que el eje Z sea perpendicular a este plano, con lo que la trayectoria
cumplirá z = 0 y podemos trabajar únicamente con las coordenadas (x, y).
Conviene introducir coordenadas polares, r =(x, y) =(ρ cos θ, ρ sen θ). En
general, cuando la trayectoria de un móvil viene dada en coordenadas polares
por unas funciones ρ(t), θ(t), se llama velocidad angular a la derivada ω = θ ′ .
La segunda derivada α = ω ′ = θ ′′ se conoce como aceleración angular.
La ecuación de Newton puede expresarse en términos de la cantidad de movimiento,
definida como p = mv, donde v = r ′ es la velocidad del móvil y m es
su masa. Admitiendo que ésta es constante, la segunda ley de Newton afirma
que
F = dp
dt ,
donde F es la fuerza total que actúa sobre el cuerpo. En particular, la cantidad
de movimiento de un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza permanece
constante.
Existen magnitudes análogas a la cantidad de movimiento y la fuerza en
coordenadas polares. Se llama momento angular de un móvil a la magnitud
L = r ∧ p = mr∧ v. Si la trayectoria está contenida en un plano el vector L
es perpendicular a él. Veamos su expresión en coordenadas polares. Para ello
calculamos:
v = ρ ′ (cos θ, sen θ)+ρω(− sen θ, cos θ), (6.1)
de donde
L = mρ(cos θ, sen θ, 0) ∧ ρω(− sen θ, cos θ, 0) = (0, 0,mρ 2 ω).
Para un movimiento plano podemos abreviar y escribir L = mρ 2 ω. Se define
el momento de una fuerza F que actúa sobre un móvil de posición r como
M = r ∧ F . Es claro que si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas el momento
de la fuerza resultante es la suma de los momentos. La versión angular de la
segunda ley de Newton es
dL
= mv ∧ v + r ∧ ma = r ∧ F = M,
dt
es decir, el momento total que actúa sobre un móvil es la derivada de su momento
angular. En particular, si un cuerpo está libre de toda fuerza su momento
angular permanece constante. Sin embargo, el momento angular se conserva
incluso en presencia de fuerzas, con tal de que la fuerza resultante sea paralela
a la posición, como ocurre en el caso de la fuerza gravitatoria que el Sol ejerce
sobre los planetas.