Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

120 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
Ejemplo Consideremos la función f(x) = x 1/2 y a = 1. Calculemos sus
derivadas:
Orden Derivada en 1
0 x 1/2 1
1
1
2 x−1/2
1
2
2 − 1 1
2 2x−3/2 − 1 1
2 2
3
1 1 3
2 2 2x−5/2 1 1 3
2 2 2
4 − 1 1 3 5
2 2 2 2x−7/2 − 1 1 3 5
2 2 2 2
En general se prueba que las derivadas en 1 van alternando el signo, en el
numerador tienen el producto de los primeros impares y en el denominador las
sucesivas potencias de 2. Con esto podemos calcular cualquier polinomio de
Taylor en 1:
P0(f)(x) = 1,
P1(f)(x) = 1+ 1
(x − 1),
2
P2(f)(x) = 1+ 1 1
(x − 1) −
2 8 (x − 1)2 ,
P3(f)(x) = 1+ 1 1
(x − 1) −
2 8 (x − 1)2 + 1
16 (x − 1)3 .
Aquí están sus gráficas junto a la de la función. Vemos que el intervalo en
que se confunden con la gráfica de f es cada vez mayor.
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
El polinomio de grado 8 es bastante representativo de lo que sucede cuando
n es grande: