Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.1. Integración en variedades 323
Sea Br = Br(x). Tomando B = X[Br], la condición que queremos exigir es:
µX(Br) − m
lím
r→0
dX(x)[Br]
m =0. (9.1)
dX(x)[Br]
Vamos a probar que existe una única medida finita regular µX en U que cumple
esta condición.
Sea φ : Rm −→ Rm una isometría que transforme Tp(S) enRn ×{0} y sea
pn : Rm −→ Rn la proyección en las primeras componentes. De este modo la
restricción a Tp(S) deφ◦ pn es una isometría del plano tangente en Rn , luego
por definición m dX(x)[Br] = m (dX(x) ◦ φ ◦ pn)[Br] .
Sean A y Pn las matrices de φ y pn en las bases canónicas. Entonces la
matriz de (dX(x) ◦ φ ◦ pn) esJX(x)APn y según el teorema 9.1 tenemos que
m dX(x)[Br] =∆X(x) m(Br), donde ∆X(x) =| det(JX(x)APn)|. Ahora usamos
que para toda matriz cuadrada M se cumple | det M| = det(MMt ), con
lo que
∆X(x) = det(JX(x)APnP t nAtJX(x) t ).
Pero JX(x)APnP t nAtJX(x) t = JX(x)AAtJX(x) t . En efecto, el elemento
(i, j) de esta matriz es el producto de eiJX(x)APn por (ejJX(x)APn) t , donde
ei y ej son los vectores de la base canónica de Rn , pero eiJX(x) ∈ Tp(S), luego
eiJX(x)A ∈ Rn ×{0}, e igualmente ejJX(x)A ∈ Rn ×{0}, luego el producto
es el mismo aunque suprimamos Pn. Como A es la matriz de una isometría, se
cumple AAt = I, luego concluimos que
∆X(x) = det(JX(x)JX(x) t
)= det(gij(x)),
donde gij son los coeficientes del tensor métrico de S en la carta X. Con esto
hemos probado lo siguiente:
Teorema 9.2 Sea X : U −→ S una carta de una variedad S. Sea X(x) =p.
Para cada conjunto de Borel B ⊂ U se cumple m dX(x)[B] =∆X(x) m(B),
donde ∆X = det(gij) y las funciones gij son los coeficientes del tensor métrico
de S.
La condición 9.1 se expresa ahora así:
µX(Br) − ∆X(x) m(Br)
lím
=0,
r→0 ∆X(x) m(Br)
o equivalentemente
dµX µX(Br)
(x) =lím
dm r→0 m(Br) =∆X(x).
Es razonable exigir que µX ≪ m, y entonces el teorema 8.38 obliga a que
µX venga dada por
µX(B) = ∆X dm.
U