Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

138 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
pero si intentamos calcular el límite por la regla de L’Hôpital nos encontramos
con
f
lím
x→0
′ (x)
g ′ (x) =lím
x→0 f ′ (x),
y ya hemos visto que este límite no existe. La regla de L’Hôpital sólo afirma que
si existe el límite del cociente de derivadas también existe el límite original y
ambos coinciden, pero es importante recordar que si el segundo límite no existe
de ahí no podemos deducir que el primero tampoco exista.
Otra función trigonométrica importante es la tangente, definida como
sen z
tan z =
cos z .
No es difícil probar que la función coseno se anula únicamente sobre los
múltiplos enteros de π/2 (no tiene ceros imaginarios). En efecto, si cos z =0,
por definición eiz +e−iz = 0, luego e2iz = −1. Si z = a+bi, queda e2iae−2b = −1
y tomando módulos, e−2b = 1, luego b =0yz es real. Igualmente ocurre con el
seno. Por lo tanto la tangente está definida sobre todos los números complejos
que no son múltiplos enteros de π/2. Claramente su restricción a R es derivable
en su dominio, y su derivada es 1/ cos2 x = 1 + tan2 x. En particular es siempre
positiva, luego la tangente es creciente. Su gráfica es:
6
4
2
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
Es fácil ver que la función tangente biyecta el intervalo ]−π/2,π/2[ con la
recta real. Junto con ésta, tenemos también las biyecciones siguientes:
sen : − π π
, −→ [−1, 1], cos : [0,π] −→ [−1, 1].
2 2
Por lo tanto podemos definir las funciones inversas, llamadas respectiva-
mente, arco seno, arco coseno y arco tangente:
arcsen : [−1, 1] −→ − π π
,
2 2
, arccos : [−1, 1] −→ [0,π],
arctan : R −→ ]−π/2,π/2[ .
El teorema de la función inversa permite calcular sus derivadas:
arcsen ′ x =
1
√
1 − x2 , arccos′ x = −1
√
1 − x2 , arctan′ x = 1
.
1+x2