Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

13.4. La ecuación de ondas 467
La ecuación de ondas no homogénea Los resultados anteriores permiten
estudiar el comportamiento del campo electromagnético en el vacío (en ausencia
de cargas), pues en tal caso las ecuaciones de ondas que hemos obtenido para
E, H y sus potenciales son homogéneas. Nos ocupamos ahora del caso general,
es decir, del problema tridimensional
⎫
2u(x, t) = w(x, t)
⎪⎬
u(x, 0) = φ(x)
∂u
⎪⎭
(x, 0) = ψ(x)
∂t
Ante todo observamos que si existe solución es única, ya que si u1 y u2 son
soluciones del problema entonces u1 − u2 es solución del problema homogéneo
con condiciones iniciales nulas, luego u1 − u2 = 0. Para probar la existencia de
solución podemos suponer φ = ψ = 0, ya que una solución con otras condiciones
iniciales se obtiene añadiendo a la de este caso una solución del problema
homogéneo correspondiente.
Para cada s>0 consideremos el problema auxiliar
⎫
2us(x, t) = 0
⎪⎬
us(x, 0) = 0
∂us
⎪⎭
(x, 0) = w(x, s)
∂t
que nos da la onda que aparecería si a partir de una situación de reposo φ =0
perturbáramos el medio con unas velocidades dadas por w(x, s). Su solución es
us(x, t) = 1
4πv2
w(y, s) dσ(y).
t y−x=vt
Para t>sdefinimos u(x, t, s) =us(x, t − s), que tiene la misma interpretación
salvo que la perturbación aparece en el instante t = s en lugar de en
t = 0. Entonces
∂2u ∂t2 = ∂2us ∂t2 = v2∆us(x, t − s) =v 2 ∆u(x, t, s)
u(x, s, s) = us(x, 0) = 0
∂u
∂us
(x, s, s) = (x, 0) = w(x, s)
∂t ∂t
Finalmente definimos
t
u(x, t) = u(x, t, s) ds = 1
4πv2
t
1
w(y, s) dσ(y) ds,
t − s
0
0
y−x=v(t−s)
que representa la acumulación de los efectos de todas las perturbaciones que han
aparecido hasta el instante t. Vamos a probar que u es la solución del problema
no homogéneo. Para derivar u respecto de t definimos
u(x, t1,t2) =
t1
0
u(x, t2,s) ds